每日一题[232] 圆环套圆环

2014年高考安徽卷理科数学第10题（选择压轴题）：

在平面直角坐标系$xOy$中，已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$，$\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=1$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0$，点$Q$满足$\overrightarrow{OQ}=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)$，曲线$C=\left\{P\left|\overrightarrow{OP}=\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b,0\leqslant \theta<2\pi\right.\right\}$，区域$\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}$．若$C\cap \Omega$为两段分离的曲线，则（        ）

A．$1<r<R<3$

B．$1<r<3\leqslant R$

C．$r\leqslant 1<R<3$

D．$1<r<3<R$

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正确答案为 A．

解    注意到

$$\begin{split}\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OQ}&=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\\&=2\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2\\&=4,\end{split}$$ 于是$Q$在以$O$为圆心，$2$为半径的圆上．

另一方面，类似可得

$$\begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}&=\left(\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b\right)\cdot  \left(\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b\right)\\&=\cos^2\theta\left|\overrightarrow a\right|^2+\sin^2\theta\left|\overrightarrow b\right|^2\\&=1,\end{split}$$ 于是曲线$C$是以$O$为圆心，$1$为半径的圆．

据此，我们可以画出示意图，题意即圆心在虚圆上的圆环（“和氏璧”）截实圆为两段分离的弧，于是$r>1\land R<3$，选项 A 符合题意．

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注    插图为秘鲁的Moray，一个发挥到极致的印加梯田，传说的圆环套圆环．