2014年高考安徽卷理科数学第10题(选择压轴题):
在平面直角坐标系xOy中,已知向量→a,→b,|→a|=|→b|=1,→a⋅→b=0,点Q满足→OQ=√2(→a+→b),曲线C={P|→OP=cosθ→a+sinθ→b,0⩽θ<2π},区域Ω={P|0<r⩽|→PQ|⩽R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则( )
A.1<r<R<3
B.1<r<3⩽R
C.r⩽1<R<3
D.1<r<3<R
正确答案为 A.
解 注意到→OQ⋅→OQ=√2(→a+→b)⋅√2(→a+→b)=2|→a|2+2|→b|2=4,
于是Q在以O为圆心,2为半径的圆上.
另一方面,类似可得→OP⋅→OP=(cosθ→a+sinθ→b)⋅(cosθ→a+sinθ→b)=cos2θ|→a|2+sin2θ|→b|2=1,
于是曲线C是以O为圆心,1为半径的圆.
据此,我们可以画出示意图,题意即圆心在虚圆上的圆环(“和氏璧”)截实圆为两段分离的弧,于是r>1∧R<3,选项 A 符合题意.
注 插图为秘鲁的Moray,一个发挥到极致的印加梯田,传说的圆环套圆环.