每日一题[232] 圆环套圆环

2014年高考安徽卷理科数学第10题(选择压轴题):

在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b|a|=|b|=1ab=0,点Q满足OQ=2(a+b),曲线C={P|OP=cosθa+sinθb,0θ<2π},区域Ω={P|0<r|PQ|R,r<R}.若CΩ为两段分离的曲线,则(        )

A.1<r<R<3

B.1<r<3R

C.r1<R<3

D.1<r<3<R


QQ20150906-1

正确答案为 A.

   注意到OQOQ=2(a+b)2(a+b)=2|a|2+2|b|2=4,

于是Q在以O为圆心,2为半径的圆上.

另一方面,类似可得OPOP=(cosθa+sinθb)(cosθa+sinθb)=cos2θ|a|2+sin2θ|b|2=1,

于是曲线C是以O为圆心,1为半径的圆.

QQ20150906-2

据此,我们可以画出示意图,题意即圆心在虚圆上的圆环(“和氏璧”)截实圆为两段分离的弧,于是r>1R<3,选项 A 符合题意.


   插图为秘鲁的Moray,一个发挥到极致的印加梯田,传说的圆环套圆环.

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