每日一题[232] 圆环套圆环

2014年高考安徽卷理科数学第10题(选择压轴题):

在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b|a|=|b|=1ab=0,点Q满足OQ=2(a+b),曲线C={P|OP=cosθa+sinθb,0,区域\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}.若C\cap \Omega为两段分离的曲线,则(        )

A.1<r<R<3

B.1<r<3\leqslant R

C.r\leqslant 1<R<3

D.1<r<3<R


QQ20150906-1

正确答案为 A.

   注意到\begin{split}\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OQ}&=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\\&=2\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2\\&=4,\end{split}于是Q在以O为圆心,2为半径的圆上.

另一方面,类似可得\begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}&=\left(\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b\right)\cdot  \left(\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b\right)\\&=\cos^2\theta\left|\overrightarrow a\right|^2+\sin^2\theta\left|\overrightarrow b\right|^2\\&=1,\end{split}于是曲线C是以O为圆心,1为半径的圆.

QQ20150906-2

据此,我们可以画出示意图,题意即圆心在虚圆上的圆环(“和氏璧”)截实圆为两段分离的弧,于是r>1\land R<3,选项 A 符合题意.


   插图为秘鲁的Moray,一个发挥到极致的印加梯田,传说的圆环套圆环.

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