2014年高考安徽卷理科数学第10题（选择压轴题）：
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知向量\(\overrightarrow a,\overrightarrow b\)，\(\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=1\)，\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0\)，点\(Q\)满足\(\overrightarrow{OQ}=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\)，曲线\(C=\left\{P\left|\overrightarrow{OP}=\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b,0\leqslant \theta<2\pi\right.\right\}\)，区域\(\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}\)．若\(C\cap \Omega\)为两段分离的曲线，则（ ）
A．\(1<r<R<3\)
B．\(1<r<3\leqslant R\)
C．\(r\leqslant 1<R<3\)
D．\(1<r<3<R\)
正确答案为 A．
解 注意到\[\begin{split}\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OQ}&=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\\&=2\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2\\&=4,\end{split}\]于是\(Q\)在以\(O\)为圆心，\(2\)为半径的圆上．
另一方面，类似可得\[\begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}&=\left(\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b\right)\cdot \left(\cos\theta\overrightarrow a+\sin\theta\overrightarrow b\right)\\&=\cos^2\theta\left|\overrightarrow a\right|^2+\sin^2\theta\left|\overrightarrow b\right|^2\\&=1,\end{split}\]于是曲线\(C\)是以\(O\)为圆心，\(1\)为半径的圆．
据此，我们可以画出示意图，题意即圆心在虚圆上的圆环（“和氏璧”）截实圆为两段分离的弧，于是\(r>1\land R<3\)，选项 A 符合题意．
注 插图为秘鲁的Moray，一个发挥到极致的印加梯田，传说的圆环套圆环．