每日一题[8] 统一起点解向量题

如图，在直角三角形$ABC$中，已知$BC=a$．若长为$2a$的线段$PQ$以点$A$为中点，问$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角$\theta$取何值时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$的值最大？并求出这个最大值．

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如图，根据题意有

$$\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}&=\left(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}\right)\\&=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\&=-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\\&=-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CB}\\&\leqslant -a^2+a^2=0,\end{split}$$

等号当且仅当$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{CB}$同向，即$\theta=0$时取得．