每日一题[6] 椭圆中的椭圆

已知$A$、$B$是以$F_1$、$F_2$为焦点的椭圆上（不在长轴上）两点，且$F_1A\parallel F_2B$．$M$为$F_1B$与$F_2A$的交点，求证：$M$的轨迹也是以$F_1$、$F_2$为焦点的椭圆．

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证明　设$AF_1=m$，$BF_2=n$，则$AF_2=2a-m$，$BF_1=2a-n$．

由题意

$$\dfrac{MF_1}{MB}=\dfrac{MA}{MF_2}=\dfrac{AF_1}{BF_2}=\dfrac mn.$$

于是

$$MF_1=\dfrac m{m+n}\cdot (2a-n),MF_2=\dfrac n{m+n}\cdot(2a-m).$$

因此

$$MF_1+MF_2=2a-\dfrac 2{\dfrac 1m+\dfrac 1n}.$$

我们熟知

$$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{ep},$$

因此原命题得证．