已知\(A\)、\(B\)是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆上（不在长轴上）两点，且\(F_1A\parallel F_2B\)．\(M\)为\(F_1B\)与\(F_2A\)的交点，求证：\(M\)的轨迹也是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆．
证明 设\(AF_1=m\)，\(BF_2=n\)，则\(AF_2=2a-m\)，\(BF_1=2a-n\)．
由题意\[\dfrac{MF_1}{MB}=\dfrac{MA}{MF_2}=\dfrac{AF_1}{BF_2}=\dfrac mn.\]
于是\[MF_1=\dfrac m{m+n}\cdot (2a-n),MF_2=\dfrac n{m+n}\cdot(2a-m).\]
因此\[MF_1+MF_2=2a-\dfrac 2{\dfrac 1m+\dfrac 1n}.\]
我们熟知\[\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{ep},\]
因此原命题得证．