每日一题[6] 椭圆中的椭圆

已知 $A$ 、 $B$ 是以 $F_1$ 、 $F_2$ 为焦点的椭圆上（不在长轴上）两点，且 $F_1A\parallel F_2B$ ． $M$ 为 $F_1B$ 与 $F_2A$ 的交点，求证： $M$ 的轨迹也是以 $F_1$ 、 $F_2$ 为焦点的椭圆．

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　设 $AF_1=m$ ， $BF_2=n$ ，则 $AF_2=2a-m$ ， $BF_1=2a-n$ ．

由题意

\frac{M F_{1}}{M B} = \frac{M A}{M F_{2}} = \frac{A F_{1}}{B F_{2}} = \frac{m}{n} .

$\dfrac{MF_1}{MB}=\dfrac{MA}{MF_2}=\dfrac{AF_1}{BF_2}=\dfrac mn.$

于是

M F_{1} = \frac{m}{m + n} \cdot (2 a - n), M F_{2} = \frac{n}{m + n} \cdot (2 a - m) .

$MF_1=\dfrac m{m+n}\cdot (2a-n),MF_2=\dfrac n{m+n}\cdot(2a-m).$

因此

M F_{1} + M F_{2} = 2 a - \frac{2}{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} .

$MF_1+MF_2=2a-\dfrac 2{\dfrac 1m+\dfrac 1n}.$

我们熟知

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{2}{e p},

$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{ep},$

因此原命题得证．

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