每日一题[3] 交点直线系

在平面直角坐标系$xOy$中，设三角形$ABC$的顶点分别为$A(0,a)$，$B(b,0)$，$C(c,0)$，点$P(0,p)$在线段$AO$上（异于端点）．设$a,b,c,p$为非零常数，设直线$BP$、$CP$分别与边$AC$、$AB$交于点$E$、$F$，求直线$OE$与直线$OF$的方程．

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 用截距式方程容易求得：

$$AC:\dfrac xc+\dfrac ya=1\\BP:\dfrac xb+\dfrac yp=1.$$

所以过$AC$与$BP$的交点$E$的直线系方程为

$$\left(\dfrac xc+\dfrac ya-1\right)+\lambda\left(\dfrac xb+\dfrac yp-1\right)=0.$$

该直线原点$O(0,0)$，于是$\lambda=-1$．

因此直线$OE$的方程为

$$\left(\dfrac 1c-\dfrac 1b\right)x+\left(\dfrac 1a-\dfrac 1p\right)y=0.$$

根据对称性可得直线$OF$的方程为

$$\left(\dfrac 1b-\dfrac 1c\right)x+\left(\dfrac 1a-\dfrac 1p\right)y=0.$$