每日一题[23] 全概率公式

今天换换口味吧，来一道清爽可口的概率题．对计数有感的同学们可以试试啦！

已知袋中有$10$个小球，其中有$5$个红球，$3$个黄球，$2$个绿球．每次从袋中不放回的取出一个球，问红球首先被全部取出的概率．

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最后一个球为红球、黄球、绿球的概率分别为

$$\frac 5{10},\frac 3{10},\frac 2{10}.$$

考虑最后一个球为黄球的情形，此时忽略掉所有的黄球，此时红球首先被全部取出即最后一个球为绿球；类似的，在最后一个球为绿球时忽略所有的绿球，则红球首先被全部取出即最后一个球为黄球．根据全概率公式，红球首先被全部取出的概率为

$$\frac 3{10}\times\frac 2{7}+\frac 2{10}\times\frac 38=\frac 9{56}.$$

一般地，当红球、黄球、绿球的个数分别为$a,b,c$时，红球首先被全部取出的概率为

$$\frac b{a+b+c}\cdot\frac c{a+c}+\frac c{a+b+c}\cdot\frac b{a+b}=\frac {bc(2a+b+c)}{(a+b+c)(a+b)(a+c)}.$$

特别的，如果$a=b=c$，那么所求的概率为$\frac 13$，与常识一致．