今天换换口味吧，来一道清爽可口的概率题．对计数有感的同学们可以试试啦！
已知袋中有\(10\)个小球，其中有\(5\)个红球，\(3\)个黄球，\(2\)个绿球．每次从袋中不放回的取出一个球，问红球首先被全部取出的概率．
最后一个球为红球、黄球、绿球的概率分别为\[\frac 5{10},\frac 3{10},\frac 2{10}.\]
考虑最后一个球为黄球的情形，此时忽略掉所有的黄球，此时红球首先被全部取出即最后一个球为绿球；类似的，在最后一个球为绿球时忽略所有的绿球，则红球首先被全部取出即最后一个球为黄球．根据全概率公式，红球首先被全部取出的概率为
\[\frac 3{10}\times\frac 2{7}+\frac 2{10}\times\frac 38=\frac 9{56}.\]
一般地，当红球、黄球、绿球的个数分别为\(a,b,c\)时，红球首先被全部取出的概率为
\[\frac b{a+b+c}\cdot\frac c{a+c}+\frac c{a+b+c}\cdot\frac b{a+b}=\frac {bc(2a+b+c)}{(a+b+c)(a+b)(a+c)}.\]
特别的，如果\(a=b=c\)，那么所求的概率为\(\frac 13\)，与常识一致．
巧妙的思考方式，非常棒的全概率公式应用。