每日一题[227] 向量的几何含义

2011年高考全国卷理科数学第12题（选择压轴题）：

设向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)满足\(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\dfrac{1}{2}\)，\(\langle\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\rangle=60^\circ\)，则\(\left|\overrightarrow{c}\right|\)的最大值等于（        ）

A．\(2\)

B．\(\sqrt{3}\)

C．\(\sqrt{2}\)

D．\(1\)

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正确答案是 A．

解    以\(O\)为起点，设向量\(\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\)的终点分别为\(A,B,C\)．

由\(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=-\dfrac 12\)可得\(\angle{AOB}=120^\circ\)，线段\(AB\)的长为\(\sqrt 3\)．

又\[\langle\overrightarrow a-\overrightarrow c,\overrightarrow b-\overrightarrow c\rangle=\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\rangle=\angle{ACB}=60^\circ,\]于是由定长线段的等张角线可知\(C\)的轨迹为过以\(AB\)为弦、半径为\(1\)的两段优弧，从而\(\left|\overrightarrow{c}\right|\)的最大值为\(2\)．

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注    向量的加法、减法、数乘与数量积都有明确的几何意义．在向量的几何意义下，很多看似复杂的条件可以利用图形简洁明了的表达，从而大幅简化运算．

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下面给出两道练习题．

1、已知\(\overrightarrow a,\overrightarrow b\)为单位向量，且\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0\)，若向量\(\overrightarrow c\)满足\(\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=1\)，则\(\left|\overrightarrow c\right|\)的取值范围是_______．

2、（2011年·辽宁·理10）若\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)均为单位向量，且\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\),\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right)\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\leqslant 0\)，则\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right|\)的最大值为（\(\qquad\)）

A．\(\sqrt{2}-1\)

B．\(1\)

C．\(\sqrt{2}\)

D．\(2\)

答案    1、\(\left[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\right]\)     2、B．

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