2014年高考数学湖北卷第10题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)\)是定义在\(\mathcal R\)上的奇函数，当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\left|x-a^2\right|+\left|x-2a^2\right|-3a^2\right)\)．若\(\forall x\in \mathcal R,f(x-1)\leqslant f(x)\)，则实数\(a\)的取值范围是（ ）
A．\(\left[-\dfrac 16,\dfrac 16\right]\)
B．\(\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]\)
C．\(\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]\)
D．\(\left[-\dfrac{\sqrt 3}3,\dfrac{\sqrt 3}3\right]\)
正确答案是B．
用分界点\(x=a^2\)和\(x=2a^2\)讨论，不难画出函数的草图．
题目中的条件\(\forall x\in\mathcal R,f(x-1)\leqslant f(x)\)的意思就是设法通过平移一个单位，把函数图象中的“山”（阴影部分）藏在右边的图象下方（包括边界）．
事实上，“山”的宽度为\(6a^2\)，于是由不等式\[6a^2\leqslant 1\]解得实数\(a\)的取值范围是\(\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]\)．
下面给出一道练习题．
设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，若存在非零实数\(l\)使得对于任意\(x\in M\)（\(M\subseteq D\)），有\(x+l\in D\)，且\(f(x+l)\geqslant f(x)\)，则称\(f(x)\)为\(M\)上的\(l\)高调函数．
（1）如果定义域为\(\left[-1,+\infty\right)\)的函数\(f(x)=x^2\)为\(\left[-1,+\infty\right)\)上的\(m\)高调函数，那么实数\(m\)的取值范围是_______．
（2）如果定义域为\(\mathcal R\)的函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=\left|x-a^2\right|-a^2\)，且\(f(x)\)为\(\mathcal R\)上的\(4\)高调函数，那么实数\(a\)的取值范围是_______．
（3）现给出下列命题：
① 函数\(f(x)=\left(\dfrac 12\right)^x\)为\(\mathcal R\)上的\(1\)高调函数；
② 函数\(f(x)=\sin 2x\)为\(R\)上的\(\pi \)高调函数；
③ 如果定义域为\(\left[-1,+\infty\right)\)的函数\(f(x)=x^2\)为\(\left[-1,+\infty\right)\)上的\(m\)高调函数，那么实数\(m\)的取值范围是\(\left[2,+\infty\right)\)．
其中正确的命题是_______．
答案 （1）\(m\geqslant 2\)；（2）\(\left[-1,1\right]\)；（3）②③．
妙极了！