每日一题[220] 代数变形

已知实数$x,y$满足

$$\left(\sqrt{x^2+2015}-y\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2015}-x\right)=2015,$$ 求$x+y$的值．

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正确答案是$0$．

此题应是由2009年的一道初中竞赛题改编而来，原题为

已知实数$x,y$满足

$$\left(\sqrt{x^2+2009}-x\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2009}-y\right)=2009,$$ 求$x+y$的值．

略解如下：

根据已知，有

$$\sqrt{x^2+2009}-x=\dfrac{2009}{\sqrt{y^2+2009}-y}=\sqrt{y^2+2009}+y,$$ 于是有 $$x+y=\dfrac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+2009}+\sqrt{y^2+2009}},$$ 于是$x+y=0$，或 $$x-y=\sqrt{x^2+2009}+\sqrt{y^2+2009}.$$ 考虑到$x,y$的对称性，若$x+y\neq 0$则必然亦有 $$y-x=\sqrt{y^2+2009}+\sqrt{x^2+2009},$$ 两式相加得 $$0=2\sqrt{x^2+2009}+2\sqrt{y^2+2009},$$ 矛盾．

经验证，$x+y=0$时原式成立，因此$x+y$的值为$0$．

我们用相同的方式处理本题．

根据已知，有

$$\sqrt{x^2+2015}-y=\dfrac{2015\left(\sqrt{y^2+2015}+x\right)}{y^2-x^2+2015},$$ 整理得 $$\left(x^2-y^2\right)\left(y-\sqrt{x^2+2015}\right)+\dfrac{2015\left(x^2-y^2\right)}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}-2015(x+y)=0,$$ 于是有$x+y=0$，或 $$\left(x-y\right)\left(y-\sqrt{x^2+2015}\right)+\dfrac{2015(x-y)}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}-2015=0,$$ 类似的，考虑到$x,y$的对称性，若$x+y\neq 0$则必然亦有 $$\left(y-x\right)\left(x-\sqrt{y^2+2015}\right)+\dfrac{2015(y-x)}{\sqrt{y^2+2015}+\sqrt{x^2+2015}}-2015=0,$$ 两式相加有 $$(x-y)\left(y-x+\sqrt{y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}\right)-4030=0,$$ 即 $$-(x-y)^2\left(1+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}\right)=4030,$$ 事实上，有 $$x+y\geqslant -\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{y^2+2015},$$ 因此 $$-(x-y)^2\left(1+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}\right)\leqslant 0,$$ 矛盾．

经验证，$x+y=0$时原式成立，因此$x+y$的值为$0$．

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另法    （由郭岩提供）

先证明

$$\sqrt{x^2+2015}-y>0\land \sqrt{y^2+2015}-x>0,$$ 具体过程从略．

再证明$x+y=0$．用反证法，若不然，当$x+y>0$时，不妨设$x\geqslant y$，则有

$$x>0,x\geqslant y>-x,$$ 于是 $$y^2\leqslant x^2,$$ 有 $$\sqrt{y^2+2015}-x\leqslant \sqrt{x^2+2015}-x,$$ 而另一方面， $$\sqrt{x^2+2015}-y<\sqrt{x^2+2015}+x,$$ 于是 $$LHS\leqslant \left(\sqrt{x^2+2015}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)=2015,$$ 矛盾．

当$x+y<0$时，同理可证．

经验证，$x+y=0$时原式成立，因此$x+y$的值为$0$．