每日一题[215] 向量系数的规划

在平面直角坐标系$xOy$中，设$A,B,C$是平面上不同的三点，并且都在圆$x^2+y^2=1$上，若存在实数$\lambda,\mu$使得$\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则$\left(\lambda -3\right)^2+\mu^2$的取值范围是_______．

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正确答案是$(2,+\infty)$．

解    设$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=m$，则考虑到$A,B,C$是不同的三点，且均在单位圆上，于是$m$的取值范围为$(-1,1)$．

由已知有

$$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=\left(\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\right),$$ 从而 $$1=\lambda^2+\mu^2+2m\lambda\mu,$$ 进而可得当$\lambda\mu>0$时，有 $$1>\lambda^2+\mu^2-2\lambda\mu,$$ 从而 $$-1<\lambda-\mu<1.$$ 而类似的，当$\lambda\mu<0$时，有 $$1>\lambda^2+\mu^2+2\lambda\mu,$$ 从而 $$-1<\lambda+\mu<1.$$

于是将$y=\left(\lambda-3\right)^2+\mu^2$视为可行域内的点$\left(\lambda,\mu\right)$到点$(3,0)$的距离之平方，可得该值在$(2,+\infty)$内（注意：上图中的阴影区域并不是可行域）．

当$\left(\lambda,\mu\right)\to\left(2,-1\right)$时，$y\to 2$；

当$\lambda\to +\infty$而$\mu=1-\lambda$时，$y\to +\infty$．

因此，所求的取值范围是$(2,+\infty)$．

另法    （由郭岩提供）设$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=t$，$t\in (-1,1)$，则由

$$\overrightarrow{OC}-\lambda\overrightarrow{OA}=\mu\overrightarrow{OB}$$ 得 $$\lambda^2-2t\lambda +1=\mu^2,$$ 于是 $$\begin{split}\left(\lambda-3\right)^2+\mu^2&=\lambda^2-6\lambda+9+\lambda^2-2t\lambda+1\\&=10+2\left(\lambda-\dfrac{t+3}{2}\right)^2-\dfrac 12\left(t+3\right)^2\\&\geqslant 10-\dfrac 12\left(t+3\right)^2\\&>2,\end{split}$$ 以下略．

另法   （由梅云提供）由题意可设$\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{MC}=\mu\overrightarrow{OB}$，则$\lambda$,$\mu$,$1$构成三角形$OMC$的三边(否则$A,B,C$中至少有两个点重合），如图：

于是$\lambda$与$\mu$满足

$$\begin{cases}\lambda>0,\\\mu>0,\\\lambda+\mu>1,\\\lambda+1>\mu,\\\mu+1>\lambda\end{cases}$$

得到的可行域所在的区域如下:

以下略.

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注    事实上，当$m$取不同的值时，方程

$$1=\lambda^2+\mu^2+2m\lambda\mu$$ 表示不同的椭圆，它们都经过$(0,\pm 1)$及$(\pm 1,0)$四点，如图所示．

当$m$取遍$(-1,1)$内的所有实数时，点$\left(\lambda,\mu\right)$形成的可行域如图（此图中$\lambda$从$-0.99$取到$0.99$，间隔为$0.02$）．