每日一题[215] 向量系数的规划

在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是平面上不同的三点,并且都在圆x2+y2=1上,若存在实数λ,μ使得OC=λOA+μOB,则(λ3)2+μ2的取值范围是_______.


cover正确答案是(2,+)

   设OAOB=m,则考虑到A,B,C是不同的三点,且均在单位圆上,于是m的取值范围为(1,1)

由已知有OCOC=(λOA+μOB)(λOA+μOB),从而1=λ2+μ2+2mλμ,进而可得当λμ>0时,有1>λ2+μ22λμ,从而1<λμ<1.而类似的,当λμ<0时,有1>λ2+μ2+2λμ,从而1<λ+μ<1.

QQ20150820-6

于是将y=(λ3)2+μ2视为可行域内的点(λ,μ)到点(3,0)的距离之平方,可得该值在(2,+)内(注意:上图中的阴影区域并不是可行域).

(λ,μ)(2,1)时,y2

λ+μ=1λ时,y+

因此,所求的取值范围是(2,+)

另法    (由郭岩提供)设OCOA=tt(1,1),则由OCλOA=μOBλ22tλ+1=μ2,于是(λ3)2+μ2=λ26λ+9+λ22tλ+1=10+2(λt+32)212(t+3)21012(t+3)2>2,以下略.

另法   (由梅云提供)由题意可设OM=λOA,MC=μOB,则λ,μ,1构成三角形OMC的三边(否则A,B,C中至少有两个点重合),如图:

屏幕快照 2015-08-21 上午9.16.23

于是λμ满足{λ>0,μ>0,λ+μ>1,λ+1>μ,μ+1>λ

得到的可行域所在的区域如下:

屏幕快照 2015-08-21 上午9.41.11

以下略.


   事实上,当m取不同的值时,方程1=λ2+μ2+2mλμ表示不同的椭圆,它们都经过(0,±1)(±1,0)四点,如图所示.

QQ20150820-7

m取遍(1,1)内的所有实数时,点(λ,μ)形成的可行域如图(此图中λ0.99取到0.99,间隔为0.02).

cover

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每日一题[215] 向量系数的规划》有2条回应

  1. 大雨瓢泼说:

    梅云那个方法里面构成AMC的三边和mu是不是都应该加绝对值啊,从而最后的图形在四个象限都有取值。

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