在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是平面上不同的三点,并且都在圆x2+y2=1上,若存在实数λ,μ使得→OC=λ→OA+μ→OB,则(λ−3)2+μ2的取值范围是_______.
解 设→OA⋅→OB=m,则考虑到A,B,C是不同的三点,且均在单位圆上,于是m的取值范围为(−1,1).
由已知有→OC⋅→OC=(λ→OA+μ→OB)⋅(λ→OA+μ→OB),从而1=λ2+μ2+2mλμ,进而可得当λμ>0时,有1>λ2+μ2−2λμ,从而−1<λ−μ<1.而类似的,当λμ<0时,有1>λ2+μ2+2λμ,从而−1<λ+μ<1.
于是将y=(λ−3)2+μ2视为可行域内的点(λ,μ)到点(3,0)的距离之平方,可得该值在(2,+∞)内(注意:上图中的阴影区域并不是可行域).
当(λ,μ)→(2,−1)时,y→2;
当λ→+∞而μ=1−λ时,y→+∞.
因此,所求的取值范围是(2,+∞).
另法 (由郭岩提供)设→OC⋅→OA=t,t∈(−1,1),则由→OC−λ→OA=μ→OB得λ2−2tλ+1=μ2,于是(λ−3)2+μ2=λ2−6λ+9+λ2−2tλ+1=10+2(λ−t+32)2−12(t+3)2⩾10−12(t+3)2>2,以下略.
另法 (由梅云提供)由题意可设→OM=λ→OA,→MC=μ→OB,则λ,μ,1构成三角形OMC的三边(否则A,B,C中至少有两个点重合),如图:
于是λ与μ满足{λ>0,μ>0,λ+μ>1,λ+1>μ,μ+1>λ
得到的可行域所在的区域如下:
以下略.
注 事实上,当m取不同的值时,方程1=λ2+μ2+2mλμ表示不同的椭圆,它们都经过(0,±1)及(±1,0)四点,如图所示.
当m取遍(−1,1)内的所有实数时,点(λ,μ)形成的可行域如图(此图中λ从−0.99取到0.99,间隔为0.02).
梅云那个方法里面构成AMC的三边和mu是不是都应该加绝对值啊,从而最后的图形在四个象限都有取值。
原题是有正实数条件的,我后来给撤掉了.