每日一题[203] 黎明前的黑暗

2014年全国高中数学联赛山东省预赛第10题：

正确答案是 $112$ ．

为了去掉绝对值符号，可以将数轴按每个绝对值符号内的代数式零点划分为 $11$ 段，在每一段上所有绝对值内的代数式的符号是固定的．

当然，逐一去计算每一段上的函数的解析式是不现实且不必要的．因为对于最值问题而言，我们关心的是函数的单调性，而函数在每一段上的单调性只由其一次项系数的正负决定．如在 $(-\infty,1)$ 上，所有的绝对值符号内的代数式均取负值，此时一次项的系数为

$(-1)+(-2)+(-3)+\cdots+(-10)=-55,$ 因此函数在这一区间上单调递减．进而考察在

$(1,2]$ 上，此时第一个绝对值符号“投诚”，不再散发“负能量”，而是转而提供“正能量”，此时一次项系数为

$1+(-2)+(-3)+\cdots+(-10)=-53,$ 不过于事无补，整个函数的单调性仍然是单调递减的．可以想象随着时间的推移，绝对值符号逐一投诚，必然存在某一个分界点

$k$ ，在

$k$ 投诚之前函数单调递减，而投诚之后函数单调递增，那么函数必然在

$k$ 处取得最小值，我们可以称之为“黎明前最黑暗的时刻”．

要寻找这一时刻，也就是要寻找使得不等式

$1+2+\cdots+k\geqslant \dfrac 12(1+2+\cdots+10)$ 成立的第一个正整数

$k$ ，不难求得

$k=7$ ，于是所求

$S_n$ 的最小值为

$S_7=112.$

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