每日一题[198] 迭代函数的零点

2014年全国高中数学联赛山东省预赛第12题：

已知函数$f_1(x)=f(x)=x(x-1)$，$f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)$，其中$n\geqslant 2$．求证：

（1）当$x>2$时，$f_n(x)$没有零点；

（2）当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$f_n(x)$至少有$n$个零点．

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（1）证明    由于当$x>2$时，$f(x)>2$，因此可以递推至$f_n(x)>2$．

（2）证明    用数学归纳法证明．

当$n=1$时，$f(x)=x(x-1)$在$[1,2]$上有零点为$1$；

假设命题对$n$成立，即$f_n(x)$至少有$n$个零点，从小到大设为$x_i$，$i=1,2,\cdots,n$．

考虑函数$f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right)$的零点，即

$$f_n(x)=0\lor f_n(x)=1,$$ 第一个方程根据归纳假设有根$x=x_i$，$i=1,2,\cdots,n$．而另一方面，根据 $$\begin{cases}f_n\left(x_n\right)-1=-1<0,\\f_n(2)-1=1>0,\end{cases}$$ 因此由零点的存在性定理可得方程$f_n(x)=1$至少有一个在$\left(x_n,2\right)$上的根．

于是函数$f_{n+1}(x)$至少有$n+1$个零点，命题对$n+1$也成立．

综上，命题得证．

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注    如图，可以看出每次迭代会在最右侧生成一个新的零点．