每日一题[195] 迭代函数法

2014年全国高中数学联赛河北省预赛第14题：

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足：$a_1=1$，$a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac 12$．

（1）求证：$a_n\geqslant \dfrac 23$；

（2）求证：$\left|a_{2n}-a_n\right|<\dfrac{10}{27}$．

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（1）证明    根据已知可得$a_{n+1}=\dfrac{2}{2a_n+1}$，设迭代函数$f(x)=\dfrac{2}{2x+1}$，则$a_{n+1}=f\left(a_n\right)$，如图．其中$a_1=1$，$a_2=\dfrac 23$．

我们证明一个更强的结论：

$$\dfrac 23\leqslant a_n\leqslant 1,$$ 用数学归纳法证明．

当$n=1$时，命题显然成立．

假设命题对$n$成立，则由函数$f(x)$在$\left[\dfrac 23,1\right]$上单调递减可得

$$f\left(\dfrac 23\right)\geqslant f\left(a_n\right)\geqslant f(1),$$ 即 $$\dfrac 23\leqslant a_{n+1}\leqslant \dfrac 67\leqslant 1,$$ 从而命题对$n+1$也成立．

综上，命题得证．

（2）证明    根据（1）中已经证明的加强的结论可得数列$\left\{a_n\right\}$中任意两项的差的绝对值不大于$\dfrac 13$，因此命题显然成立．

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注    利用迭代函数的图象是研究数列的有界性以及单调性的重要方法，还可以参考每日一题[182] 不动点．下面给出两道练习题．

1、（2015年山西省预赛第10题）已知数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$满足条件：$a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$；证明：对每个正整数$n$，下式成立：

（1）$\dfrac{a_{2n-1}}{b_{2n-1}}<\sqrt 2<\dfrac{a_{2n}}{b_{2n}}$；

（2）$\left|\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\sqrt 2\right|<\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|$．

2、已知数列$\{x_n\}$满足$x_1=\dfrac 12$，$x_{n+1}=\dfrac 1{1+x_n},n\in \mathcal {N}^*$，证明：$\left|x_{n+1}-x_n\right|\leqslant \dfrac 16\left(\dfrac 25\right)^{n-1}$．