每日一题[192] 迭代函数

2014年全国高中数学联赛天津市预赛第12题：

函数$f(x)$满足$f(x)=\begin{cases}x-3,&x\geqslant 1000,\\f\left(f(x+5)\right),&x<1000,\end{cases}$，则$f(84)$的值是_______．

正确答案是$997$．

记$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，$n=1,2,\cdots$，则 $$\begin{split}f(84)&=f_2(89)=f_3(94)=\cdots=f_{184}(999)\\&=f_{185}(1004)=f_{184}(1001)=f_{183}(998)\\&=f_{184}(1003)=f_{183}(1000)=f_{182}(997)\\&=f_{183}(1002)=f_{182}(999),\end{split}$$ 注意到$f_{184}{999}=f_{182}{999}$，于是$f(84)=f_2(999)$．另一方面，注意到$f_{184}(999)=f_{182}(997)$，于是$f_2(999)=997$．