每日一题[189]代数式的最值

已知\(x+2y+\sqrt{xy}=2\)，求\(x+3y\)的取值范围．

首先，\(x\geqslant 0\)，\(y\geqslant 0\)．否则\[x+2y+\sqrt{xy}\leqslant -2\sqrt{2xy}+\sqrt{xy}\leqslant 0,\]与已知条件矛盾．

法一    待定参数

将参数引入均值不等式，有\[\sqrt{xy}\leqslant \dfrac 12\left(\lambda x+\dfrac{y}{\lambda}\right),\lambda>0\]于是\[\begin{split}2&=x+2y+\sqrt{xy}\\&=x+2y+\dfrac{\lambda}{2}\cdot x+\dfrac{1}{2\lambda}\cdot y\\&=\left(1+\dfrac{\lambda}{2}\right)x+\left(2+\dfrac{1}{2\lambda}\right)y,\end{split}\]令\(x\)、\(y\)的系数比为\(1:3\)得待定系数\(\lambda=\dfrac 13\)，因此可得\[x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},\]等号当\(x=9y=\dfrac 97\)时取得．

也可以这样描述，设\[\begin{split}\lambda (x+3y)-2&=\lambda x+3\lambda y-x-2y-\sqrt{xy}\\&=\left(\lambda -1\right)x+\left(3\lambda -2\right)y-\sqrt{xy}\\&\geqslant 2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}\cdot \sqrt{xy}-\sqrt{xy},\end{split}\]令\[2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}=1,\]得\(\lambda=\dfrac 76\)，于是可得\[x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},\]等号当\(x=9y=\dfrac 97\)时取得．

另一方面，有\[x+3y\leqslant \dfrac 32x+3y+\dfrac 32\sqrt{xy}=3,\]等号当\(x=0\land y=1\)时取得．

因此所求代数式的取值范围为\(\left[\dfrac{12}7,3\right]\)．

法二    三角换元

设\(a=\sqrt x\)，\(b=\sqrt y\)，则原问题转化为已知\(a^2+2b^2+ab=2\)，求\(a^2+3b^2\)的取值范围．

再令\(a=r\cos\theta\)，\(b=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot r\sin\theta\)，\(\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\)，\(r>0\)，则所求代数式即\(r^2\)，而\[r^2\cos^2\theta+\dfrac 23r^2\sin^2\theta+\dfrac 1{\sqrt 3}r^2\sin\theta\cos\theta=2,\]于是\[\begin{split}\dfrac 2{r^2}&=\cos^2\theta+\dfrac 23\sin^2\theta+\dfrac{1}{\sqrt 3}\sin\theta\cos\theta\\&=\dfrac 56+\dfrac 13\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right),\end{split}\]而\[\dfrac{\pi}{6}\leqslant 2\theta+\dfrac{\pi}{6}\leqslant \dfrac{7\pi}{6},\]于是可得\[\dfrac{12}{7}\leqslant r^2\leqslant 3,\]所求取值范围为\(\left[\dfrac{12}7,3\right]\)．