每日一题[189]代数式的最值

已知x+2y+xy=2,求x+3y的取值范围.


cover首先,xy\geqslant 0.否则x+2y+\sqrt{xy}\leqslant -2\sqrt{2xy}+\sqrt{xy}\leqslant 0,与已知条件矛盾.

法一    待定参数

将参数引入均值不等式,有\sqrt{xy}\leqslant \dfrac 12\left(\lambda x+\dfrac{y}{\lambda}\right),\lambda>0于是\begin{split}2&=x+2y+\sqrt{xy}\\&=x+2y+\dfrac{\lambda}{2}\cdot x+\dfrac{1}{2\lambda}\cdot y\\&=\left(1+\dfrac{\lambda}{2}\right)x+\left(2+\dfrac{1}{2\lambda}\right)y,\end{split}xy的系数比为1:3得待定系数\lambda=\dfrac 13,因此可得x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},等号当x=9y=\dfrac 97时取得.

也可以这样描述,设\begin{split}\lambda (x+3y)-2&=\lambda x+3\lambda y-x-2y-\sqrt{xy}\\&=\left(\lambda -1\right)x+\left(3\lambda -2\right)y-\sqrt{xy}\\&\geqslant 2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}\cdot \sqrt{xy}-\sqrt{xy},\end{split}2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}=1,\lambda=\dfrac 76,于是可得x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},等号当x=9y=\dfrac 97时取得.

另一方面,有x+3y\leqslant \dfrac 32x+3y+\dfrac 32\sqrt{xy}=3,等号当x=0\land y=1时取得.

因此所求代数式的取值范围为\left[\dfrac{12}7,3\right]


法二    三角换元

a=\sqrt xb=\sqrt y,则原问题转化为已知a^2+2b^2+ab=2,求a^2+3b^2的取值范围.

再令a=r\cos\thetab=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot r\sin\theta\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]r>0,则所求代数式即r^2,而r^2\cos^2\theta+\dfrac 23r^2\sin^2\theta+\dfrac 1{\sqrt 3}r^2\sin\theta\cos\theta=2,于是\begin{split}\dfrac 2{r^2}&=\cos^2\theta+\dfrac 23\sin^2\theta+\dfrac{1}{\sqrt 3}\sin\theta\cos\theta\\&=\dfrac 56+\dfrac 13\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right),\end{split}\dfrac{\pi}{6}\leqslant 2\theta+\dfrac{\pi}{6}\leqslant \dfrac{7\pi}{6},于是可得\dfrac{12}{7}\leqslant r^2\leqslant 3,所求取值范围为\left[\dfrac{12}7,3\right]

QQ20150723-3@2x

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每日一题[189]代数式的最值》有一条回应

  1. zfc说:

    法二中把a,b带入整理是不是有误?

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