每日一题[188] 代数式的最值

2015年清华大学自主招生试题：

已知\(2x+y=1\)，求\(x+\sqrt{x^2+y^2}\)的最值．

正确答案是最小值为\(\dfrac 45\)，不存在最大值．

法一    判别式

令\(m=x+\sqrt{x^2+y^2}\)，则\[x=\dfrac{m^2-y^2}{2m},\]因此\[2\cdot\dfrac{m^2-y^2}{2m}+y=1,\]整理得\[y^2-my+m-m^2=0,\]从而判别式\[\Delta=m^2-4(m-m^2)\geqslant 0,\]解得\[m\geqslant \dfrac 45.\]

其中用到了\(m=x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2}\geqslant 0\)．

法二    三角换元

设\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，则条件转化为\[2r\cos\theta+r\sin\theta=1,\]所求代数式转化为\[r\cos\theta+r,\]于是问题转化为求代数式\[\dfrac{\cos\theta+1}{2\cos\theta+\sin\theta}\]的最值．

记该代数式为\(m\)，则\[\cos\theta+1=2m\cos\theta+m\sin\theta,\]整理得\[\sqrt{m^2+(2m-1)^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)=1,\]于是\[m^2+(2m-1)^2\geqslant 1,\]解得\[m\geqslant \dfrac 45.\]

容易检验得\(\dfrac 45\)可以去到，为最小值，而不存在最大值．

法三    数形结合

情形一    如图，当\(x\geqslant 0\)时，设\(P\)为直线\(2x+y=1\)上的一点，则\[x+\sqrt{x^2+y^2}=PO+PH,\]根据“将军饮马”问题，该值有最小值，为\(O\)关于直线\(2x+y=1\)的对称点\(Q\left(\dfrac 45,\dfrac 25\right)\)到\(y\)轴的距离\(\dfrac 45\)．

情形二    如图，当\(x<0\)时，设\(P\)为直线\(2x+y=1\)上的一点，则\[x+\sqrt{x^2+y^2}=PO-PH,\]而\[PO>OH=OB+2PH>1+PH,\]于是\[PO-PH>1.\]

综合以上，所求代数式最小值为\(\dfrac 45\)，不存在最大值．