每日一题[185] 解高次不等式

2015年高考江苏卷第19题（导数大题）：

已知函数$f(x)=x^3+ax^2+b$（$a,b\in\mathcal R$）．

（1）试讨论$f(x)$的单调性；

（2）若$b=c-a$（实数$c$是与$a$无关的常数），当函数$f(x)$有三个不同的零点时，$a$的取值范围恰好是$\left(-\infty,-3\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right)\cup\left(\dfrac 32,+\infty\right)$，求$c$的值．

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（1）解    根据已知有

$$f'(x)=3x^2+2ax,$$ 于是

情形1    当$a=0$时，$f(x)$在$\mathcal R$上单调递增；

情形2    当$a<0$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$和$\left(-\dfrac {2a}3,+\infty\right)$上单调递增，在$\left(0,-\dfrac{2a}3\right)$上单调递减；

情形3    当$a>0$时，$f(x)$在$\left(-\infty,-\dfrac{2a}3\right)$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$\left(-\dfrac{2a}3,0\right)$上单调递减．

（2）解    函数$f(x)$有三个不同零点等价于$f(x)$的极大值与极小值异号，即

$$f(0)\cdot f\left(-\dfrac{2a}3\right)<0,$$ 也即 $$(c-a)\left(\dfrac{4}{27}a^3+c-a\right)<0,$$ 整理得 $$(a-c)\left(a^3-\dfrac{27}4a+\dfrac {27}4c\right)>0.$$

该不等式的解为$\left(-\infty,-3\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right)\cup\left(\dfrac 32,+\infty\right)$，于是对应的四次不等式为

$$(a+3)(a-1)\left(a-\dfrac 32\right)^2>0,$$ 对比系数解得 $$c=1,$$ 因此所求的$c$的值为$1$．