数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 均为项数为 $k$ 的有限正项数列，$A_n, B_n$ 为其前 $n$ 项和．对给定正实数 $t$，定义 $M_t=\left\{(i, j) \mid a_i+b_j\geqslant t\right\}$．记 $\operatorname{card}(A)$ 表示集合 $A$ 中的元素个数．
1、若 $a_n=2 n-1$，$ b_n=2^n$，$k=5$，求 $\complement_{M_{20}} M_{25}$；
2、若对 $t \in\{0,1,2, \cdots, k\}$，均有 $\operatorname{card}\left(M_{2^t}\right)=k^2-t^2$，求证：$A_k+B_k>\left(2-\dfrac{3}{k}\right) \cdot 2^k$；
3、若对任意的 $t>0$，有 $\operatorname{card}\left(M_t\right)<\dfrac{1}{t}$，求证：$A_k \cdot B_k<\dfrac{1}{2}$．
参考公式（${\rm Abel}$ 求和交换）：\[\sum_{i=1}^n a_i b_i=\sum_{i=2}^n\left(\sum_{r=i}^n a_r\right)\left(b_i-b_{i-1}\right)+A_n b_1.\]
解析
1、根据题意，$M_t$ 即 $k\times k$ 的 $x_{ij}=a_i+b_i$ 的数表 $P$ 中不小于 $t$ 的位置集合，于是有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline i / j&1&2&3&4&5\\ \hline 1&2&5&7&9&11\\ \hline 2&5&7&9&11&13\\ \hline 3&9&11&13&15&17\\ \hline 4&17&19&\boxed{21}&\boxed{23}&25\\ \hline 5&33&35&37&39&41\\ \hline\end{array}\] 于是 $\complement_{M_{20}} M_{25}=\{(3,4),(4,4)\}$．
2、根据题意，对 $t=0,1,\cdots,k-1$，数表 $P$ 中在 $[2^t,2^{t+1})$ 中的数的个数为\[\big(k^2-t^2\big)-\big(k^2-(t+1)^2\big)=2t+1,\]考虑数表 $P$ 中的所有数之和 $S$，一方面有\[S=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k(a_i+b_j)=\sum_{i=1}^k\left(ka_i+B_k\right)=kA_k+kB_k=k(A_k+B_k),\]另一方面，有\[S\geqslant \sum_{t=0}^{k-1}\left((2t+1)\cdot 2^t\right)=(2k-3)\cdot 2^k+3,\]于是\[\left(2-\frac 3k\right)\cdot 2^k=\frac{S-3}{k}<\frac Sk=A_k+B_k,\]命题得证．
3、设数表 $P$ 中的所有元素从小到大为\[t_1,t_2,\cdots,t_m,\]其中 $t_r$ 的出现的次数为 $n_r$，其中 $r=1,2,\cdots,m$，则由 $\operatorname{card}M_1<1$ 可得 $t_m<1$，且\[\forall t>0,\operatorname{card}\left(M_t\right)<\dfrac{1}{t}\implies \sum_{s=r}^mn_s<\frac{1}{t_r},r=1,2,\cdots,m.\]因此（补充定义 $t_0=0$）\[\begin{split} A_k\cdot B_k&=\sum_{i=1}^ka_i\cdot \sum_{j=1}^kb_j=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^ka_ib_j\\ &\leqslant \frac14\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k(a_i+b_j)^2\\ &=\frac 14\sum_{r=1}^m n_rt_r^2\\ &=\frac14 \sum_{r=1}^m\left(\sum_{s=r}^mn_s\right)(t_r^2-t_{r-1}^2)\\ &<\frac14 \sum_{r=1}^m\frac{t_r^2-t_{r-1}^2}{t_r}=\frac14 \sum_{r=1}^m\frac{t_r+t_{r-1}}{t_r}\cdot(t_r-t_{r-1})\\ &< \frac12 \sum_{r=1}^m\left(t_r-t_{r-1}\right)\\ &=\frac 12t_m<\frac 12 ,\end{split}\]因此命题得证．