定义在 $[0,1]$ 上的单调函数 $f(x)$ 满足：$\forall a, b \in[0,1], f(a)+f(b)=f(a) \cdot f(b)+f(a+b-a b)$，且 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}$，则（ ）
A．$f(0)=0$
B．记 $g(x)=1-f(1-x)$，则 $g(x)$ 为幂函数
C．$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2026} f\left(\frac{n}{n+1}\right)<2025$
D．$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2025} f\left(\frac{1}{n+1}\right)<2 \ln 2026$
答案 ABD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，令 $(a,b)=\left(\frac 12,0\right)$，可得\[f\left(\frac 12\right)+f(0)=f\left(\frac 12\right)\cdot f(0)+f\left(\frac 12\right)\implies f(0)=0,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，有 $f(x)=1-g(1-x)$，于是对任意 $a,b\in[0,1]$，有\[ 1-g(1-a)+1-g(1-b)=(1-g(1-a))(1-g(1-b))+1-g(1-a-b+ab),\]即\[g(1-a)g(1-b)=g\big((1-a)(1-b)\big),\]也即\[\forall a,b\in [0,1],g(a)g(b)=g(ab),\]且 $g(0)=0$，$g(1)=1$，$g(x)$ 是单调递增函数，根据柯西方程，可得 $g(x)$ 是幂函数，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，由 $g\left(\frac 12\right)=\frac 14$，可得 $g(x)=x^2$，于是\[\sum_{n=1}^mf\left(\frac n{n+1}\right)=\sum_{n=1}^m\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)>m-\sum_{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)}>m-1,\] 选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，有\[ \sum_{n=1}^mf\left(\frac1{n+1}\right)=\sum_{n=1}^m\left(1-\frac{n^2}{(n+1)^2}\right)=\sum_{n=1}^m\frac{2n+1}{(n+1)^2}<\sum_{n=1}^m\frac 2{n+1}<2\sum_{n=1}^m\ln\frac{n+1}{n}<2\ln(m+1),\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．