2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #18
已知抛物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，$C$ 上的点 $P(4,t)$（$t>0$）到 $F$ 的距离为 $5$．
1、求 $p$ 和 $t$ 的值；
2、$A,B$ 为 $C$ 上两点，$\triangle PAB$ 的重心在直线 $y=-\dfrac 4 3$ 上．
① 证明：直线 $AB$ 的斜率为定值；
② 设直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$，线段 $AB$ 的中点为 $T$，线段 $PQ$ 的中点为 $R$，过点 $P$ 向直线 $TR$ 作垂线，垂足为 $H$．证明：点 $H$ 在定圆上运动．
解析
1、由 $C$ 上的点 $P(4,t)$（$t>0$）到 $F$ 的距离为 $5$ 可得 $p=2$，进而由 $P(4,t)$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上可得 $t=4$．
2、① 设 $A(4a^2,4a),B(4b^2,4b)$，则由 $\triangle PAB$ 的重心在直线 $y=-\dfrac 4 3$ 上，可得\[4a+4b+4=-\frac 43\cdot 3\iff a+b=-2,\]于是直线 $AB$ 的斜率为 $\frac{1}{a+b}=-\frac 12$ 是定值．
② 根据题意，有 $T(2a^2+2b^2,2a+2b)=(8-4ab,-4)$，$Q(-4ab,0)$，$R(-2ab+2,2)$，设 $K(x_0,y_0)$，考虑\[ \dfrac{8-4ab-x_0}{-2ab+2-x_0}=\dfrac{-4-y_0}{2-y_0}=2,\]解得 $(x_0,y_0)=(-4,8)$，于是直线 $TR$ 恒过点 $K(-4,8)$，于是点 $H$ 在以 $PK$ 为直径的圆上运动，即在定圆\[(x-4)(x+4)+(y-4)(y-8)=0\iff x^2+(y-6)^2=20\]上运动．