2026年3月广东广州市一模数学试卷 #11
已知曲线 $C$ 的方程为 $F(x,y)=0$，集合 $T=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}$，若对任意的 $\left(x_1,y_1\right)\in T$，都存在 $\left(x_2,y_2\right)\in T$，使得 $x_1\left(y_2-2\right)=x_2 y_1$ 成立，则称曲线 $C$ 为 $\alpha$ 曲线．下列方程所表示的曲线为 $\alpha$ 曲线的是（ ）
A．$x^2+y^2=5$
B．$x-y-1=0$
C．$y=\ln x$
D．$y=\mathrm e^{-x}-2$
答案 ABD．
解析 根据题意，设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),A(0,2),O(0,0)$，则有\[x_1(y_2-2)=x_2y_1\iff \overrightarrow{OP}\parallel \overrightarrow{AQ},\]于是当 $x_1=0$ 时，取 $Q=P$ 即可，当 $x_1\ne 0$ 时，定义\[K_1=\left\{k\mid k=\frac{f(x)}x\right\},\quad K_2=\left\{k\mid k=\dfrac{f(x)-2}{x}\right\},\]则曲线 $C$ 为 $\alpha$ 曲线等价于 $K_1\subseteq K_2$． 对于选项 $\boxed{A}$，由于 $O,A$ 均在圆内部，于是 $K_1=K_2=\mathbb R$，选项正确； 对于选项 $ \boxed{B} $，由于 $ K_1=K_2=\mathbb R\setminus \{1\} $，选项正确； 对于选项 $ \boxed{C} $，考虑到\[\left(\frac{\ln x-t}x\right)'=\dfrac {t-\ln x}{x^2}\implies \left\{k\mid k=\frac{f(x)-t}x\right\}=\left(-\infty,\dfrac{1}{\mathrm e^t}\right],\]于是 $ K_1=\left(-\infty,\frac{1}{\mathrm e}\right] $，$K_2=\left(-\infty,\frac{1}{\mathrm e^3}\right]$，选项错误； 对于选项 $ \boxed{D} $，考虑到当 $t>1$ 时，有 $\dfrac{\mathrm e^{-x}-t}{x}$ 的取值范围为 $\mathbb R$，于是 $K_1=K_2=\mathbb R$，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $ \boxed{A} $ $\boxed{B}$ $ \boxed{D}$．