2015年高考四川卷理科数学第10题、文科数学第10题(选择压轴题):
设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x−5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4)
解 如图,记圆心为C(5,0),设A(4a2,4a),B(4b2,4b).
显然无论r为何值,都存在a+b=0的两个平凡解(垂直于Ox轴的两条切线),因此只需要考虑a+b≠0的情形.
由于M(2(a2+b2),2(a+b)),于是根据AB与圆C相切于M,可得2(a+b)−02(a2+b2)−5⋅4a−4b4a2−4b2=−1,即a2+b2=32.于是r2=CM2=[2(a2+b2)−5]2+[2(a+b)−0]2=4+4(a+b)2,由0<(a+b)2<2(a2+b2)=3,得4<r2<16,于是所求r的取值范围是(2,4).
注一 解析几何习题中,有时利用点的坐标直接表达已知条件要比设直线方程表达交点坐标后再利用交点坐标表达条件要简单有效得多.
注二 有关r的取值范围的充分性的考虑,可以借助规划进行.
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