每日一题[165] 指数函数的凹凸性

2015年高考陕西卷理科数学第21题（压轴题）：

设$f_n(x)$是等比数列$1,x,x^2,\cdots,x^n$的各项和，其中$x>0$，$n\in\mathcal N$，$n\geqslant 2$．

（1）证明： 函数$F_n(x)=f_n(x)-2$在$\left(\dfrac 12,1\right)$内有且仅有一个零点（记为$x_n$），且$x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}$；

（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为$g_n(x)$，比较$f_n(x)$和$g_n(x)$的大小，并加以证明．

 （1）证明    根据已知，有 $$F_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n-1,$$ 于是 $$F_n\left(\frac 12\right)=\frac 12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}-1=-\frac{1}{2^n}<0,$$ 而 $$F_n(1)=n-1>0.$$

另一方面，考虑到在$\left(\dfrac 12,1\right)$上 $$F_n'(x)=1+2x+\cdots+nx^{n-1}>0,$$ 因此函数$F_n(x)$在$\left(\dfrac 12,1\right)$上单调递增．

综合以上，函数$F_n(x)$在$\left(\dfrac 12,1\right)$内有且仅有一个零点．

由 $$x_n+x_n^2+\cdots+x_n^n-1=0$$ 可得 $$\dfrac{x_n-x_n^{n+1}}{1-x_n}-1=0,$$ 整理即得 $$x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}.$$

（2）解与证明    当$x=1$时$f_n(x)=g_n(x)$；当$x\neq 1$时$f_n(x)<g_n(x)$，证明如下．

根据题意描述，$n\geqslant 3$．

当$x\geqslant 1$时，考虑 $$h_n(x)=f_n(x)-g_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n-\frac{n+1}{2}\left(1+x^n\right)$$ 的导数 $$\begin{split}h_n'(x)&=1+2x+\cdots+nx^{n-1}-\frac{n(n+1)}{2}\cdot x^{n-1}\\&=x^{n-1}\left[1\cdot\left(\frac 1x\right)^{n-1}+2\cdot \left(\frac 1x\right)^{n-2}+\cdots+n-\frac{n(n+1)}{2}\right],\end{split}$$ 于是函数$h_n(x)$在$(0,1)$上单调递增．在$(1,+\infty)$上单调递减．考虑到$h_n(1)=0$，于是结论得证．

 注一    （2）的几何意义为指数函数图象的割线恒在指数函数图象的上方．

 因此也可以将$x$视为常数，证明当$x\neq 1$时 $$x^k<1+k\cdot\frac{x^n-1}{n}$$ 对$k=0,1,2,\cdots,n$成立即可．

注二    （2）的本质与2012年高考重庆理科数学第20题（压轴题）的第（2）小题一致，试题如下：

设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$满足$S_{n+1}=a_2S_n+a_1$，其中$a_2\neq 0$．

（1）求证：$\left\{a_n\right\}$是首项为$1$的等比数列；

（2）若$a_2>-1$，求证：$S_n\leqslant \dfrac n2\left(a_1+a_n\right)$并给出等号成立的充要条件．