2025年高考全国II卷 #11
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$ b>0$）的左、右焦点为 $F_1, F_2$，左、右顶点为 $A_1, A_2$，以 $F_1 F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$，且 $\angle N A_1 M=\dfrac{5 \pi}{6}$，则（ ）
A．$\angle A_1 M A_2=\dfrac{\pi}{6}$
B．$\left|M A_1\right|=2\left|M A_2\right|$
C．$C$ 离心率为 $\sqrt{13}$
D．当 $a=\sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_1 M A_2$ 面积为 $8 \sqrt{3}$
答案 ACD．
解析 如图，记 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，则 $|OM|=\dfrac12|F_1F_2|=c$，而 $|OA_1|=|OA_2|=a$，于是 $NA_1\perp A_1A_2$，$ MA_2\perp A_1A_2$．
对于选项 $\boxed{A}$，由于 $\angle NA_1A_2=\dfrac{\pi}2$，于是 $\angle MA_1A_2=\dfrac{\pi}3$，从而 $\angle A_1M_A2=\dfrac{\pi}6$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，$|MA_1|=2|A_1A_2|=\dfrac2{\sqrt 3}|MA_2|$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，在直角 $\triangle OA_2M$ 中，可得 $C$ 的离心率\[e=\dfrac{|OM|}{|OA_2|}=\sqrt{13},\]选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，四边形 $NA_1MA_2$ 的面积\[[NA_1MA_2]=|A_1A_2|\cdot |A_2M|=(2a)\cdot \left(2\sqrt 3 a\right)=4\sqrt 3\cdot a^2=8\sqrt 3,\] 选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．