已知三棱锥 D−ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB=∠CBA=30∘，二面角 D−AB−C 的大小为 60∘，若球 O 的表面积等于 36π，则三棱锥 D−ABC 的体积等于[[nn]] A．√3 B．27√38 C．√7 D．2√73已知三棱锥 D−ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB=∠CBA=30∘，二面角 D−AB−C 的大小为 60∘，若球 O 的表面积等于 36π，则三棱锥 D−ABC 的体积等于（ ）
A．√3
B．27√38
C．√7
D．2√73
答案 B．
解析 先证明 O 为 AB 的中点，由于 ∠ACB=∠ADB=90∘，于是OA=OB=OC=OD,
因此 O 为三棱锥 D−ABC 外接球球心，进而可得 AB=6．过 D 作 AB 的垂线，垂足为 H，则 |DH|=3√32，于是d(D,ABC)=sin⟨D−AB−C⟩⋅|DH|=94,
进而三棱锥 D−ABC 的体积为13⋅[△ABC]⋅d(D,ABC)=13⋅9√32⋅94=27√38.