每日一题[3784]状态转移

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #18

有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为 $1,2,3$ 的 $3$ 个白球，乙口袋中有编号为 $1,2,3$ 的 $3$ 个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次这样的操作．

1、求 $2$ 次换球后，甲口袋中恰有 $3$ 个白球的概率；

2、求 $n$ 次换球后，甲口袋中 $3$ 个球颜色恰好相同的概率（结果用含 $n$ 的式子表示）；

3、求 $n$ 次换球后，甲口袋中 $3$ 个球编号恰好为 $1,2,3$ 的概率（结果用含 $n$ 的式子表示）．当 $n$ 为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？

解析

1、经过 $1$ 次换球后，甲口袋中 $2$ 白 $1$ 黑，乙口袋中 $2$ 黑 $1$ 白，因此所求概率为 $\dfrac 1 3\cdot\dfrac 1 3=\dfrac 1 9$．

2、设经过 $n$ 次换球后甲口袋中的白球数为 $3,2,1,0$ 的概率分别为 $a_n,b_n,c_n,d_n$，记该状态为 $K_n(a_n,b_n,c_n,d_n)$，则状态转移矩阵满足

$$K_{n+1}=\begin{pmatrix}0&\dfrac 19&0&0 \\ 1&\dfrac 49&\dfrac 49&0\\ 0&\dfrac 49&\dfrac 49&1\\ 0&0&\dfrac 19&0\end{pmatrix} K_{n-1}^T,$$ 且 $K_1(0,1,0,0)$，于是 $$b_{n+1}+c_{n+1}=a_n+\dfrac 89\left(b_n+c_n\right)+d_n=(1-(b_n+c_n))+\dfrac 89(b_n+c_n)=-\dfrac 19(b_n+c_n)+1,$$ 而 $b_1+c_1=1$，于是可得 $$b_n+c_n=\dfrac 9{10}\left(1-\left(-\dfrac 19\right)^n\right),$$ 所以所求概率为 $$a_n+b_n=1-(b_n+c_n)=\dfrac 1{10}+\dfrac9{10}\cdot \left(-\dfrac 19\right)^n.$$

3、设 $n$ 次换球后，甲口袋中 $3$ 个球编号恰好为 $1,2,3$ 的概率为 $p_n$，则 $p_1=\dfrac 13$，且

$$p_{n+1}=\dfrac 13\cdot p_n+\dfrac 49\cdot (1-p_n)\iff p_{n+1}=\dfrac 49-\dfrac 13p_n,$$ 利用不动点法可得 $$p_n=\dfrac 25+\dfrac 35\cdot \left(-\dfrac 19\right)^n,$$ 于是 $\{p_n\}$ 的奇子列单调递增趋于 $\dfrac 25$，偶子列单调递减趋于 $\dfrac 25$，所求最大值仅当 $n=2$ 时取得，为 $p_2=\dfrac{11}{27}$．