2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17
建立如图所示的坐标系.矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=2√3.E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点,直线 HF,BC 上的动点 R,S 满足 →OR=λ→OF,→CS=λ→CF(λ∈R),直线 ER 与 GS 的交点为 P.
1、证明点 P 在一个确定的椭圆上,并求此椭圆的方程;
2、当 λ=12 时,过点 R 的直线 l(与 x 轴不重合)与 (1) 中的椭圆交于 M,N 两点,过点 N 作直线 x=4 的垂线,垂足为点 Q.设直线 MQ 与 x 轴交于点 K,求 △KMR 面积的最大值.
解析
1、根据题意,直线 PG,PE 的斜率之积kPG⋅kPE=−|CS||GC|⋅|OE||OR|=−|CS||OF|⋅|CF||OR|=−λ⋅|CF|2λ⋅|OF|2=−34,
根据椭圆的斜率积定义,点 P 在以 E,G 为短轴顶点的椭圆 x24+y23=1 上.
2、当 λ=12 时,R(1,0) 为椭圆的右焦点,此时直线 x=4 为椭圆的右准线,设 T(4,0),则 K 为 RT 的中点 (52,0),进而 |RK| 为定值 32,设 MN 的倾斜角为 θ,则[△KMR]=12⋅|RK|⋅d(M,Ox)⩽12⋅32⋅√3=3√34,
等号当 M 在短轴端点时取得,因此所求面积的最大值为 3√34.
老师,第二问中的k是中点是怎么直接来的啊?