每日一题[3783]椭圆的定义

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17

建立如图所示的坐标系.矩形 ABCD 中,|AB|=4|BC|=23E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点,直线 HF,BC 上的动点 R,S 满足 OR=λOFCS=λCFλR),直线 ERGS 的交点为 P

1、证明点 P 在一个确定的椭圆上,并求此椭圆的方程;

2、当 λ=12 时,过点 R 的直线 l(与 x 轴不重合)与 (1) 中的椭圆交于 M,N 两点,过点 N 作直线 x=4 的垂线,垂足为点 Q.设直线 MQx 轴交于点 K,求 KMR 面积的最大值.

解析

1、根据题意,直线 PG,PE 的斜率之积kPGkPE=|CS||GC||OE||OR|=|CS||OF||CF||OR|=λ|CF|2λ|OF|2=34,

根据椭圆的斜率积定义,点 P 在以 E,G 为短轴顶点的椭圆 x24+y23=1 上.

2、当 λ=12 时,R(1,0) 为椭圆的右焦点,此时直线 x=4 为椭圆的右准线,设 T(4,0),则 KRT 的中点 (52,0),进而 |RK| 为定值 32,设 MN 的倾斜角为 θ,则[KMR]=12|RK|d(M,Ox)12323=334,

等号当 M 在短轴端点时取得,因此所求面积的最大值为 334

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每日一题[3783]椭圆的定义》有一条回应

  1. miwu说:

    老师,第二问中的k是中点是怎么直接来的啊?

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