2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19
如图，椭圆 Γ1:x2m+y2n=1（m>n>0），Γ2:x2n+y2m=1，已知 Γ1 右顶点为 H(2,0)，且它们的交点分别为 P1(1,1),P2(−1,1),P3(−1,−1),P4(1,−1)．
1、求 Γ1 与 Γ2 的标准方程；
2、过点 P1 作直线 MN，交 Γ1 于点 M，交 Γ2 于点 N，设直线 P3M 的斜率为 k1，直线 P3N 的斜率为 k2，求 k2k1；（上述各点均不重合）
3、点 Q1 是 Γ1 上的动点，直线 Q1P1 交 Γ2 于点 Q2，直线 Q2P2 交 Γ1 于点 Q3，直线 Q3P3 交 Γ2 于点 Q4，直线 Q4P4 与直线 Q1P1 交于点 N，求点 G 坐标，使直线 NG 与直线 NH 的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）
解析
1、由 H(2,0)，可得 m=4，再由 P1∈Γ1，可得1m+1n=1⟹n=43,
于是所求标准方程为 Γ1:x24+y243=1，Γ2:x243+y24=1．
2、根据椭圆的斜率积定义，有kMP1⋅kMP3=−13,kNP1⋅kNP3=−3,
于是k2k1=kNP1⋅kNP3kMP1⋅kMP3=9.
3、设直线 Q1Q2,Q2Q3,Q3Q4,Q4N 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4，联立直线 l:y=k(x−1)+1 与椭圆 Γ2 的方程，可得(k2+3)x2+2k(1−k)x+(k2−2k−3)=0,
于是直线 l 与椭圆 Γ2 交于点 P1(1,1) 和 T(k2−2k−3k2+3,−k2−6k+3k2+3)，于是直线 TP2 的斜率为f(k)=−k2−6k+3k2+3−1k2−2k−3k2+3−(−1)=−k+3k−1,
而k2=f(k1),−1k3=f(−1k2),k4=f(k3),
依次计算，可得k2=−k1+3k1−1,k3=−−1−k2−1+3k2=−1k1+2,k4=−k3+3k3−1=3k1+5k1+3.
设 N(x,y)，联立y−1x−1=k1,y−1x+1=k4,
可得y+1x−1=3⋅y−1x−1+5y−1x−1+3⟺y2=5x2−16x+12⟺yx−2⋅yx−65=5,
因此点 G 的坐标为 (65,0)，对应斜率之积 [1] 为定值 5．
备注 [1] 点 N 的轨迹方程为(x−85)2425−y245=1,
是以 H(2,0) 和 (65,0) 为实轴顶点的双曲线，进而点 G 的坐标为 (65,0)，对应斜率之积为定值 5．