每日一题[3755]折叠弯曲

2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16

如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$AB\perp AD$，$BC=8$，$AD=9$，$AB=2\sqrt 3$，点 $E$ 为线段 $BC$ 不在端点上的一点，过 $E$ 作 $AB$ 的平行线交 $AD$ 于 $F$，将矩形 $ABEF$ 翻折至与梯形 $ECDF$ 垂直，得到六面体 $ABCDEF$． 

1、若 $CF\perp BD$，求 $BE$ 的长；

2、求异面直线 $BC$ 与 $AD$ 所成角余弦值的最小值．

解析

1、根据三垂线定理，若 $CF\perp BD$，则 $CF\perp DE$，建立平面直角坐标系 $E-CF$，设 $C(t,0)$，$F(0,2\sqrt 3)$，$D(t+1,2\sqrt 3)$，则 $$(t,-2\sqrt 3)\cdot (t+1,2\sqrt 3)=0\implies (t+4)(t-3)=0,$$ 于是 $t=3$，$BE$ 的长为 $5$．

2、设 $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EC}$，且 $AF=t$，则 $BC$ 与 $AD$ 所成角 $\theta=\angle GAD$，有 $$\tan\theta=\tan(\angle FAD-\angle FAG)=\dfrac{\dfrac{9-t}{t}-\dfrac{8-t}{t}}{1+\dfrac{9-t}{t}\cdot \dfrac{8-t}{t}}=\dfrac{1}{2t+\dfrac{72}t-17}\leqslant \dfrac{1}{7},$$ 等号当 $t=6$ 时取得，因此所求余弦值的最小值为 $\dfrac{7\sqrt 2}{10}$．