每日一题[3754]逐步引导

2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14

四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB=AD=\sqrt{10}$，$CB=CD=5$，$\angle BAD=90^{\circ}$，$PB=4$，$PC=3$，$\triangle PBC$ 内部点 $Q$ 满足四棱锥 $Q-ABCD$ 与三棱锥 $Q-PAD$ 的体积相等，则 $PQ$ 长的最小值为_____．

答案    $\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$．

解析    如图，作 $BH\perp CD$ 于 $H$，$HO\perp BC$ 于 $O$，连接 $BD$，则 $HB=4$，$HC=3$，$P$ 在以 $O$ 为圆心，$OH$ 为半径的圆上运动．

延长 $PQ$ 交 $BC$ 于 $R$，设 $\overrightarrow{PQ}=\lambda \overrightarrow{PR}$，$\overrightarrow{BR}=\mu \overrightarrow{BC}$，则

$$1=\dfrac{[Q-ABCD]}{[Q-PAD]}=\dfrac{(1-\lambda)[P-ABCD]}{\lambda [P-RAD]}=\dfrac{(1-\lambda)[ABCD]}{\lambda [RAD]}=\dfrac{(1-\lambda)[ABCD]}{\lambda \left(\mu([CAD]+(1-\mu)[BAD]\right)},$$ 从而 $$2(1-\lambda)=\lambda\left(\mu+\dfrac 23(1-\mu)\right)\iff\dfrac6{\lambda}-\mu=8,$$ 而 $$\overrightarrow{PR}=(1-\mu)\overrightarrow{PB}+\mu\overrightarrow{PC}\implies |PR|^2=(1-\mu)^2\cdot|PB|^2+\mu^2\cdot |PC|^2\implies |PR|^2=16(1-\mu)^2+9\mu^2,$$ 从而 $$|PQ|^2=\lambda^2\left(16(1-\mu)^2+9\mu^2\right)=\dfrac{(4-4\mu)^2+(3\mu)^2}{(8+\mu)^2}\cdot 36\geqslant \dfrac{\dfrac{((2(4-4\mu)+3(3\mu))^2}{2^2+3^2}}{(8+\mu)^2}\cdot 36=\dfrac{36}{13},$$ 等号当 $\mu=\dfrac 23$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$．