每日一题[3754]逐步引导

2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14

四棱锥 PABCD 中,AB=AD=10CB=CD=5BAD=90PB=4PC=3PBC 内部点 Q 满足四棱锥 QABCD 与三棱锥 QPAD 的体积相等,则 PQ 长的最小值为_____.

答案    61313

解析    如图,作 BHCDHHOBCO,连接 BD,则 HB=4HC=3P 在以 O 为圆心,OH 为半径的圆上运动.

延长 PQBCR,设 PQ=λPRBR=μBC,则

1=[QABCD][QPAD]=(1λ)[PABCD]λ[PRAD]=(1λ)[ABCD]λ[RAD]=(1λ)[ABCD]λ(μ([CAD]+(1μ)[BAD]),
从而
2(1λ)=λ(μ+23(1μ))6λμ=8,
PR=(1μ)PB+μPC|PR|2=(1μ)2|PB|2+μ2|PC|2|PR|2=16(1μ)2+9μ2,
从而
|PQ|2=λ2(16(1μ)2+9μ2)=(44μ)2+(3μ)2(8+μ)236((2(44μ)+3(3μ))222+32(8+μ)236=3613,
等号当 μ=23 时取得,因此所求最小值为 61313

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