每日一题[3753]映射计数

2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数，$\displaystyle\min (A)$ 为集合 $A$ 中的最小元素．若非空数集 $A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$，且满足 $|A|\leqslant\displaystyle\min (A)$，则称集合 $A$ 为 $n$ 阶完美集．记 $a_n$ 为全部 $n$ 阶完美集的个数，下列说法中正确的是（       ）

A．$a_4=7$

B．将 $n$ 阶完美集 $A$ 的元素全部加 $1$，得到的新集合，是 $n+1$ 阶完美集

C．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\in A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n$

D．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\notin A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n-1$

答案    ABD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，按 $|A|$ 分类，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline |A|&1&2&3&4\\ \hline A&\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}&\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}&&\\ \hline\end{array}$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，设将集合 $A$ 中的所有元素都加 $1$ 得到集合 $T(A)$，则 $$T(A)\subseteq \{1,2,\cdots,n,n+1\},\quad |T(A)|=|A|,\quad \min(T(A))=\min(A)+1,$$ 因此 $T(A)$ 为 $n+1$ 阶完美集，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，考虑 $(n+2)$ 阶完美集有以下三类： 第一类，不含元素 $(n+2)$ 的，与 $(n+1)$ 阶完美集一一对应，有 $a_{n+1}$ 个； 第二类，含元素 $(n+2)$ 且还有其他元素的，把所有元素都减去 $1$，然后去掉 $(n+1)$，则得到 $n$ 阶完美集（与第一类情形类似，为一一对应），有 $a_n$ 个； 第三类，只含元素 $(n+2)$ 的，即 $\{n+2\}$，有 $1$ 个； 这样就得到了递推关系 $$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+1,\quad a_1=1,a_2=2,$$ 从分析过程中可得选项 $\boxed{C}$ 的结果是 $a_n$，而当 $n=4$ 时，$a_5-4=8\ne a_4$，选项 $\boxed{C}$ 错误；选项 $\boxed{D}$ 的结果为 $a_{n+1}-(n+1)$（$(n+1)$ 阶完美集中去掉所有单元素集）．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．