每日一题[3751]平均性质与角分线

2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #18

已知拋物线 $y^2=2 x$，过点 $N(2,0)$ 作两条直线 $l_1,l_2$ 分别交拋物线于 $A,B$ 和 $C,D$（其中 $A,C$ 在 $x$ 轴上方）．

1、当 $l_1$ 垂直于 $x$ 轴，且四边形 $ACBD$ 的面积为 $4\sqrt 5$ 时，求直线 $l_2$ 的方程；

2、当 $l_1,l_2$ 倾斜角互补时，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $M$，求 $\triangle MAB$ 的内切圆的圆心横坐标的取值范围．

解析

1、当 $l_1$ 垂直于 $x$ 轴时，有 $A(2,2)$，$B(2,-2)$，设 $C(2c^2,2c)$，$D(2d^2,2d)$，则根据抛物线的平均性质，有

$$2cd=-2.$$ 而 $\overrightarrow{BA}=(0,4)$，$\overrightarrow{DC}=(2c^2-2d^2,2c-2d)$，根据面积坐标公式，有 $$[ACBD]=4\sqrt 5\implies \dfrac 12 \left|0\cdot (2c-2d)-(2c^2-2d^2)\cdot 4\right|=4\sqrt 5\implies |c^2-d^2|=\sqrt 5,$$ 直线 $l_2$ 斜率的倒数 $m=c+d$，于是 $$|c+d|\cdot |c-d|=\sqrt 5\iff |m|\cdot \sqrt{m^2+4}=\sqrt 5\iff m=\pm 1,$$ 因此直线 $l_2$ 的方程为 $x=\pm y+2$．

2、当 $l_1,l_2$ 倾斜角互补时，$A,C$ 关于 $x$ 轴的对称点分别为 $C,D$，设 $A(2a^2,2a)$，$B(2b^2,2b)$，$C(2b^2,-2b)$，$D(2a^2,-2a)$，其中根据抛物线的平均性质有 $ab=-1$，进而 $M(-2,0)$．设 $\triangle MAB$ 的内切圆圆心为 $K$，则 $K$ 为 $\angle MAN$ 的角平分线与 $x$ 轴的公共点，设 $K(t,0)$，则根据角平分线定理，有

$$\dfrac{|KM|}{|KN|}=\dfrac{|AM|}{|AN|}\implies \dfrac{t+2}{2-t}=\dfrac{\sqrt{(2a^2+2)^2+(2a)^2}}{\sqrt{(2a^2-2)^2+(2a)^2}}=\sqrt{\dfrac{a^2+\dfrac{1}{a^2}+3}{a^2+\dfrac{1}{a^2}-1}},$$ 因此 $\dfrac{t+2}{2-t}$ 的取值范围是 $\left(1,\sqrt 5\right)$，进而 $t$ 的取值范围是 $\left(0,3-\sqrt 5\right)$．