每日一题[3748]另类椭圆

2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #11

已知 $O(0,0),A(a,0),B(a,1),C(0,1),D(0,-1)$，其中 $a\neq 0$．点 $M,N$ 分别满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ON}=(1-\lambda)\overrightarrow{OA}$，其中 $0<\lambda<1$，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 交于点 $P$，则（       ）

A．当 $\lambda=\dfrac 1 2$ 时，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 斜率乘积为 $-\dfrac 1{a^2}$

B．当 $a=-1$ 时，存在点 $P$，使得 $|DP|=2$

C．当 $a=2$ 时，$\triangle PAC$ 面积最大值为 $\dfrac{\sqrt 2-1}2$

D．若存在 $\lambda$，使得 $|DP|>2$，则 $a\in(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,+\infty)$

答案    AD．

解析    根据题意，有 $M(a,\lambda)$，$N\left((1-\lambda)a,0\right)$．

对于选项 $\boxed{A}$，直线 $CM$ 与 $DN$ 的斜率之积为 $$\dfrac{\lambda-1}{a}\cdot \dfrac{1}{(1-\lambda)a}=-\dfrac1{a^2},$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，根据选项 $\boxed{A}$ 的结论，当 $a=-1$ 时，直线 $CM\perp DM$，于是 $|DP|$ 为 $D(0,-1)$ 到直线 $CM$ 的距离．注意到直线 $CM$ 过定点 $C(0,1)$，因此 $|DP|\leqslant |DC|=2$，等号仅当 $DN\perp CM$ 即直线 $CM$ 斜率为 $0$ 时取得，这不可能，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，根据选项 $\boxed{A}$ 的结论，当 $a=2$ 时，直线 $PC$ 与 $PD$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，因此点 $P$ 的轨迹是以 $CD$ 为短轴离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 的椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 在第一象限的部分，设 $P(x_0,y_0)$，则 $P$ 到直线 $AC:x+2y-2=0$ 的距离 $$d(P,AC)=\dfrac{x_0+2y_0-2}{\sqrt 5}\leqslant \dfrac{\sqrt{2^2+2^2}\cdot \sqrt{\dfrac{x_0^2}4+y_0^2}-2}{\sqrt 5}=\dfrac{2\sqrt 2-2}{\sqrt 5},$$ 因此 $\triangle PAC$ 面积的最大值为 $$\dfrac 12\cdot \sqrt5\cdot \dfrac{2\sqrt 2-2}{\sqrt 5}=\sqrt 2-1,$$ 选项错误；

 对于选项 $\boxed{D}$，即椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 上有在圆 $D:x^2+(y+1)^2=4$ 外的点，也即关于 $y$ 的不等式 $$\dfrac{4-(y+1)^2}{a^2}+y^2<1\iff a^2>\dfrac{4-(y+1)^2}{1-y^2}\iff a^2>1+\dfrac{2}{1+y}$$ 在 $y\in (-1,1]$（当 $y\leqslant -1$ 时显然无解）上有解，进而可得 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,+\infty)$，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$．