每日一题[3746]基本放缩

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

2、求 $f(x)$ 的极值；

3、设函数 $g(x)=f(x)+x^2+x$，求证：$g(x)$ 的最小值大于 $\dfrac 1 2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\mathrm e^x-1,$$ 于是 $f(0)=1$，$f'(0)=0$，因此所求切线方程为 $$y=f'(0)(x-0)+f(0),~\text{即}~y=1.$$

2、函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值 $1$，没有极大值．

3、即证明

$$\forall x\in\mathbb R,\mathrm e^x+x^2 >\dfrac 12.$$ 而根据指数函数的基本放缩，有 $\mathrm e^x\geqslant 1+x$，于是 $$\mathrm e^x+x^2\geqslant 1+x+x^2\geqslant \dfrac 34>\dfrac 12,$$ 命题得证．