每日一题[3745]垂径定理

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $A(0,1)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、设 $B$ 为椭圆 $C$ 的下顶点，动点 $M$ 到坐标原点 $O$ 的距离等于 $1$（$M$ 与 $A,B$ 不重合），直线 $AM$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $N$．记直线 $BM,BN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_1+\lambda k_2=0$ 恒成立？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．

解析

1、由椭圆 $C$ 的上顶点为 $A(0,1)$ 可得 $b=1$，离心率 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2$，$b=1$，从而所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．

2、设直线 $AN$ 的斜率为 $k_3$，则根据椭圆的垂径定理以及点 $M$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，可得

$$k_2k_3=-\dfrac14,\quad k_1k_3=-1,$$ 从而 $$\lambda =-\dfrac{k_1}{k_2}=-4,$$ 因此存在常数 $\lambda=-4$ 符合题意．