2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #21
已知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 都是无穷数列．若存在正数 $A$，对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\left|a_n-b_n\right|\leqslant A$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 具有关系 $P(A)$．
1、分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系 $P(1)$，直接写出结论；
① $a_n=2 n$，$b_n=n+2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$；
② $c_n=\left(\dfrac 1 2\right)^{n-1}$，$d_n=2\cdot\left(\dfrac 1 3\right)^n+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
2、设 $a_n=\left(\dfrac 1 3\right)^{n-1}$，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，试判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是否具有关系 $P(A)$．如果是，求出 $A$ 的最小值，如果不是，说明理由；
3、已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，若存在数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$\left\{b_n\right\}$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 具有关系 $P(1)$，且 $b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个正数，求 $d$ 的取值范围．
解析
1、① 由于 $|a_5-b_5|=|10-7|=3>1 $，于是不具有关系 $ P(1)$；
② 考虑\[0<1-2\cdot \left(\dfrac 12\right)^n<d_n-c_n=1-2\left( \left(\dfrac 12\right)^n-\left(\dfrac 13\right)^{n}\right)<1,\]因此具有关系 $P(1)$．
2、考虑\[b_n-a_n=\left(\dfrac13\right)^n+1-\left(\dfrac 13\right)^{n-1}=1-2\cdot \left(\dfrac 13\right)^n,\]于是 $b_n-a_n$ 从 $\dfrac 13$ 开始递增，极限为 $1$，于是数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是否具有关系 $P(A)$，其中 $A\geqslant 1$（最小值为 $1$）．
3、根据题意，$\left\{b_n\right\}$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 具有关系 $P(1)$ 即\[a_n-1\leqslant b_n\leqslant a_n+1,~\text{即}~a_0-1+n\cdot d\leqslant b_n\leqslant a_0+1+n\cdot d,\]设 $s_n=a_0-1+dn$，$t_n=a_0+1+dn$，区间 $P_n=\left[s_n,t_n\right]$，则 $b_n\in P_n$（$n=1,2,\cdots$），进而 $b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个正数即 $P_k\cap P_{k+1}$（$k=1,2,\cdots,200$）中至少有 $100$ 个长度不为 $0$．由于 $s_n<s_{n+1}$，$t_n<t_{n+1}$，因此只需考虑\[t_{n+1}-s_n=(a_0+1+dn+d)-(a_0-1+dn)=d+2,\]若 $d\leqslant -2$，则 $P_k\cap P_{k+1}$（$k=1,2,\cdots,200$）的长度均为 $0$； 若 $d>-2$，则 $P_k\cap P_{k+1}$（$k=1,2,\cdots,200$）的长度均不为 $0$． 当 $d>0$ 时，取 $b_n=a_n$ 即符合要求； 当 $d=0$ 时，取 $b_n=a_n+\left(\dfrac 12\right)^n$ 即符合要求； 当 $-2<d<0$ 时，取 $b_n=\begin{cases} s_n,&n~\text{为奇数},\\ t_n,&n~\text{为偶数},\end{cases}$ 则 $b_{2k}-b_{2k-1}$（$k=1,2,\cdots,100$）均为正数，符合题意．
综上所述，$d$ 的取值范围是 $(-2,+\infty)$．