2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #21
已知 {an} 和 {bn} 都是无穷数列．若存在正数 A，对任意的 n∈N∗，均有 |an−bn|⩽A，则称数列 {an} 与 {bn} 具有关系 P(A)．
1、分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系 P(1)，直接写出结论；
① an=2n，bn=n+2，n∈N∗；
② cn=(12)n−1，dn=2⋅(13)n+1，n∈N∗．
2、设 an=(13)n−1，bn=an+1+1，n∈N∗，试判断数列 {an} 与 {bn} 是否具有关系 P(A)．如果是，求出 A 的最小值，如果不是，说明理由；
3、已知 {an} 是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {bn} 满足：{bn} 与 {an} 具有关系 P(1)，且 b2−b1,b3−b2,⋯,b201−b200 中至少有 100 个正数，求 d 的取值范围．
解析
1、① 由于 |a5−b5|=|10−7|=3>1，于是不具有关系 P(1)；
② 考虑0<1−2⋅(12)n<dn−cn=1−2((12)n−(13)n)<1,
因此具有关系 P(1)．
2、考虑bn−an=(13)n+1−(13)n−1=1−2⋅(13)n,
于是 bn−an 从 13 开始递增，极限为 1，于是数列 {an} 与 {bn} 是否具有关系 P(A)，其中 A⩾1（最小值为 1）．
3、根据题意，{bn} 与 {an} 具有关系 P(1) 即an−1⩽bn⩽an+1, 即 a0−1+n⋅d⩽bn⩽a0+1+n⋅d,
设 sn=a0−1+dn，tn=a0+1+dn，区间 Pn=[sn,tn]，则 bn∈Pn（n=1,2,⋯），进而 b2−b1,b3−b2,⋯,b201−b200 中至少有 100 个正数即 Pk∩Pk+1（k=1,2,⋯,200）中至少有 100 个长度不为 0．由于 sn<sn+1，tn<tn+1，因此只需考虑tn+1−sn=(a0+1+dn+d)−(a0−1+dn)=d+2,
若 d⩽−2，则 Pk∩Pk+1（k=1,2,⋯,200）的长度均为 0； 若 d>−2，则 Pk∩Pk+1（k=1,2,⋯,200）的长度均不为 0． 当 d>0 时，取 bn=an 即符合要求； 当 d=0 时，取 bn=an+(12)n 即符合要求； 当 −2<d<0 时，取 bn={sn,n 为奇数,tn,n 为偶数, 则 b2k−b2k−1（k=1,2,⋯,100）均为正数，符合题意．
综上所述，d 的取值范围是 (−2,+∞)．