每日一题[3739]中点弦方程

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(\sqrt 6,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．一条直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $l$，$M\left(x_0,y_0\right)$ 为直线 $AB$ 与直线 $l$ 的交点．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、若 $x_0=1$，直线 $l$ 是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由．

解析

1、由椭圆过点 $\left(\sqrt 6,0\right)$ 可得 $a=\sqrt 6$，离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2$，从而 $b=\sqrt 3$，因此所求椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$．

2、根据椭圆的中点弦方程，直线 $AB$ 的方程为

$$\dfrac{x_0x}{6}+\dfrac{y_0y}{3}=\dfrac{x_0^2}{6}+\dfrac{y_0^2}3,~\text{即}~\dfrac x6+\dfrac{y_0y}3=\dfrac 16+\dfrac{y_0^2}3,$$ 因此直线 $l$ 的方程为 $$\dfrac {y_0}3x-\dfrac 16y=\dfrac{y_0}3x_0-\dfrac 16y_0,~\text{即}~y=y_0(2x-1),$$ 因此直线 $l$ 过定点 $\left(\dfrac 12,0\right)$．