每日一题[3737]奇偶分治

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #10

已知由正整数组成的集合 $A=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{50}\right\}$，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和，$E(A)$ 表示集合 $A$ 中偶数的个数．若 $S(A)=2025$，则 $E(A)$ 的最小值为（       ）

A．$5$

B．$7$

C．$9$

D．$10$

答案    B．

解析    考虑到前 $n$ 个正奇数的和为 $n^2$，而 $2025=45^2$，因此集合 $A$ 中的奇数少于 $45$ 个，又 $S(A)$ 是奇数，因此集合 $A$ 中的奇数的个数为奇数，因此集合 $A$ 中至多有 $43$ 个奇数，因此 $E(A)\leqslant 7$．取 $$A=\{1,3,5,\cdots,43,2,4,6,8,10,12,164\},$$ 则 $E(A)=7$，因此所求最小值为 $7$．