每日一题[3735]飘忽不定

2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #20

设函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac{x-b}{x+1}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+4 y-1=0$．

1、求实数 $a,b$ 的值；

2、求函数 $f(x)$ 的单调区间；

3、求函数 $g(x)=\left(x^2-1\right)\ln x-4(x-1)^2$ 的零点的个数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac ax-\dfrac{1+b}{(x+1)^2},$$ 于是由曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+4 y-1=0$ 可得 $$\begin{cases} f(1)=0,\\ f'(1)=\dfrac 14,\end{cases}\iff \begin{cases} -\dfrac{1-b}{2}=0,\\ a-\dfrac{1+b}4=\dfrac 14,\end{cases}$$ 解得 $a=\dfrac 14$，$b=1$．

2、函数 $f(x)=\dfrac 14\ln x-\dfrac{x-1}{x+1}$，其导函数 $$f'(x)=\dfrac{x^2-6x+1}{4x(x+1)^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&&3-2\sqrt 2&&3+2\sqrt 2&&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\text{极大值}&\searrow&\text{极小值}&\nearrow&+\infty \\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,3-2\sqrt 2\right)$，单调递减区间是 $\left(3+2\sqrt 2,+\infty\right)$．

3、函数 $g(x)=4(x^2-1)\cdot f(x)$，注意到 $f(1)=0$，因此所求零点个数即函数 $f(x)$ 的零点个数．由于 $1\in \left(3-2\sqrt 2,3+2\sqrt 2\right)$，于是函数 $f(x)$ 的极大值为正实数，极小值为负实数．又 $$\dfrac 14\ln x -1<f(x)<\dfrac 14\ln x+1,$$ 于是 $f\left(\mathrm e^{-4}\right)<0$，$f\left(\mathrm e^4\right)>0$，因此函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，从而函数 $g(x)$ 的零点个数为 $3$．