2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且经过点 $A(0,1)$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、若过点 $(-1,0)$，斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $B,D$，且与直线 $y=-1$ 交于点 $E$，点 $D$ 在线段 $BE$（不包括两端点）上，$O$ 为坐标原点，直线 $EO$ 与直线 $AB,AD$ 分别交于点 $M,N$．求证：点 $M,N$ 关于原点 $O$ 对称．
解析
1、由于椭圆 $C$ 经过点 $A(0,1)$，于是 $b=1$，而离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2$，于是 $a=2$，从而所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
2、设椭圆的参数方程为 $x=2\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$A,B,D$ 的参数分别为 $2\theta_0,2\theta_1,2\theta_2$，$\tan\theta_1=t_1$，$\tan\theta_2=t_2$，$\tan\theta_0=t_0=1$，则直线\[\begin{split} BD&:\dfrac x2(1-t_1t_2)+y(t_1+t_2)=1+t_1t_2,\\ AB&:\dfrac x2(1-t_1)+y(1+t_1)=1+t_1,\\ AD&:\dfrac x2(1-t_2)+y(1+t_2)=1+t_2,\end{split}\]进而\[t_1t_2=-3,\quad E\left(\dfrac{t_1+t_2-2}{2},-1\right),\quad EO:2x+(t_1+t_2-2)y=0,\]联立直线 $EO$ 与 $AB$ 的方程可得点 $M$ 的纵坐标\[y_1=\dfrac{4(1+t_1)}{6+t_1-t_2+t_1^2+t_1t_2}=\dfrac{4}{t_1-t_2},\]类似的，可得 $y_2=\dfrac{4}{t_2-t_1}$，命题得证．