每日一题[3717]递推公式

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #14

已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n+a_{n-1}=2+\dfrac{3n^2+n}{a_n-a_{n-1}}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），则 $a_{2025}=$ _____．

答案    $91171$．

解析    题中递推公式即

$$a_n^2-a_{n-1}^2=2(a_n-a_{n-1})+3n^2+n,$$ 也即 $$(a_n^2-2a_n)=(a_{n-1}^2-2a_{n-1})+3n^2+n,$$ 累加可得 $$a_n^2-2a_n=(a_1^2-2a_1)+\sum_{k=2}^n(3k^2+k)=n(n+1)^2-1,$$ 即 $$a_n=(n+1)\sqrt n+1,$$ 因此 $a_{2025}=91171$．