每日一题[3706]迭代函数

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #15

已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 5 2-\dfrac 1{a_n}$（$n=1,2,3,\cdots$）．下列四个结论中所有正确结论的序号是_____．

① 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有无穷多个元素；

② 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有有限个元素；

③ 对于任意的 $a_1$，集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中至多有一个元素；

④ 当 $a_1=1$ 时，集合 $\left\{n\mid a_n<a_{n+1}<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}=\mathbb N^{\ast}$．

答案   ②③④．

解析   迭代函数 $f(x)=\dfrac 52-\dfrac 1x$ 对应的不动点为 $x=\dfrac 12,2$，如图． 

当 $a_1<0$ 时，$\{a_n\}$ 先单调递减直至变成负数，然后变为大于 $2$ 的正数，最后单调递减趋于 $2$；

当 $0<a_1<\dfrac 12$ 时，$\{a_n\}$ 单调递增趋于 $\dfrac 12$；

当 $\dfrac 12<a_1<2$ 时，$\{a_n\}$ 单调递增趋于 $2$，结论 ④ 正确；

当 $a_1>2$ 时，$\{a_n\}$ 单调递减趋于 $2$；

当 $a_1<0$ 时，有 $a_2>\dfrac 52$，进而 $\{a_n\}$ 从第 $2$ 项起单调递减趋于 $2$，结论 ① 错误，结论 ②③ 正确；

综上所述，所有正确结论的序号为 ②③④．