每日一题[3705]水面沉浮

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #10

如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E$ 为棱 $AA_1$ 的中点，$P$ 为正方体表面上的动点，且 $\overrightarrow{D_1 P}\perp\overrightarrow{CE}$．设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $W$，则（       ）

A．$W$ 是平行四边形，且周长为 $2\sqrt 2+2\sqrt 5$

B．$W$ 是平行四边形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$

C．$W$ 是等腰梯形，且周长为 $2\sqrt 2+2\sqrt 5$

D．$W$ 是等腰梯形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$

答案    D．

解析    设 $M,N$ 分别为 $AD,AB$ 的中点，则 $W$ 为四边形 $D_1MNB_1$，如图 $^{[1]}$．

因此 $W$ 是等腰梯形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$．