每日一题[3699]递推估算

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #8

设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=2$，$n a_n=S_n+S_{n-1}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），数列 $\left\{2^n S_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则下列不等式正确的是（       ）

A．$T_{20}<2^{30}$

B．$T_{20}>2^{35}$

C．$T_{30}<2^{40}$

D．$T_{30}>2^{45}$

答案    A．

解析    由 $n a_n=S_n+S_{n-1}$ 可得当 $n\geqslant 2$ 时，有\[n(S_n-S_{n-1})=S_n+S_{n-1}\implies S_n=\dfrac{n+1}{n-1}S_{n-1}\implies S_n=\dfrac{(n+1)\cdot n}{2\cdot 1}S_1=n(n+1),\]进而可得\[T_n=(n^2-n+2)\cdot 2^{n+1}-4,\]因此\[T_{20}=382\cdot 2^{21}-4,\quad T_{30}=872\cdot 2^{31}-4,\]考虑到 $2^8<382<2^9<872<2^{10}$，有\[2^{29}<T_{20}<2^{30},\quad 2^{40}<T_{30}<2^{41},\]只有选项 $\boxed{A}$ 正确．