每日一题[3698]嵌套单调

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #7

已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 1 2 x-a$（$a\in\mathbb R$），若存在 $m\in\left[1,\mathrm e^2\right]$（$\mathrm e$ 为自然对数的底数），使得 $f(f(m))=m$，则实数 $a$ 的取值范围是[[nn]]

A．$\left[2-\dfrac 1 2 \mathrm e^2,-1+\ln 2\right]$

B．$\left[1-\dfrac{\mathrm e} 2,-1+\ln 2\right]$

C．$\left[-\dfrac 1 2,1-\dfrac{\mathrm e}2\right]$

D．$\left[-\dfrac 1 2,0\right]$

答案    A．

解析    根据题意，$f(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增，于是

$$f(f(m))=m\iff f(m)=m\iff \ln m-\dfrac 12m=a,$$ 设 $g(x)=\ln x-\dfrac 12x$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{2-x}{2x},$$ 因此 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&1&&2&&\mathrm e^2\\ \hline g(x)&-\dfrac 12&\nearrow&-1+\ln 2&\searrow&2-\dfrac 12\mathrm e^2\\ \hline \end{array}$$ 而 $$2-\dfrac 12\mathrm e^2=2-\dfrac {\mathrm e}2\cdot \mathrm e<2-\mathrm e<-\dfrac 12,$$ 于是实数 $a$ 的取值范围是 $\left[2-\dfrac 1 2 \mathrm e^2,-1+\ln 2\right]$．