2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #13
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 1tanA+2tanB=3tanC,则 c2a2+2b2= _____.
答案 13.
解析 若 mtanA+ntanB=ttanC,则t=m⋅tanCtanA+n⋅tanCtanB=msinCcosAsinB+nsinCcosBsinAsinAsinBcosC=m⋅bc⋅b2+c2−a22bc+n⋅ac⋅a2+c2−b22acab⋅a2+b2−c22ab=(n−m)(a2−b2)+(m+n)c2a2+b2−c2,
于是(m−n+t)a2+(n−m+t)b2=(m+n+t)c2.
回到原题 令 (m,n,t)=(1,2,3),可得 2a2+4b2=6c2,于是 c2a2+2b2=13.
用面积转化更直接
tanA=4Sb2+c2−a2,tanB=4Sc2+a2−b2,tanC=4Sa2+b2−c2