每日一题[3683]平方数不定方程

2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #9

使得 $n^2+2023 n$ 为平方数的正整数 $n$ 的最小值是____．

答案    $425$．

解析    设 $n^2+2023n=m^2$（$m\in\mathbb N^{\ast}$），则

$$(2n+2m+2023)(2n-2m+2023)=2023^2,$$ 记 $p=2n+2m+2023$，$q=2n-2m+2023$，$p>q$，则 $$\begin{cases} n=\dfrac{p+q-4046}{4},\\ pq=7^2\cdot 17^4,\end{cases}$$ 因此当 $p,q$ 尽可能接近时 $n$ 取得最小值 $^{[1]}$，进而 $(p,q)=(17^3,7^2\cdot 17)$ 时 $n$ 取得最小值为 $425$．

备注    $[1]$ 当 $p,q$ 尽可能远离时 $n$ 取得最大值，进而 $(p,q)=(7^2\cdot 17^4,1)$ 时 $n$ 取得最大值为 $1022121$．