每日一题[3682]三角与因式分解

2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #7

已知在 $\triangle ABC$ 中，$a=2 b$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt 2}3$，则 $\sin\dfrac{A-B}2+\sin\dfrac C 2=$ _____．

答案    $\dfrac{\sqrt{10}}3$．

解析    由 $\cos B=\dfrac{2\sqrt 2}3$ 可得 $\sin B=\dfrac13$，根据正弦定理，有 $$a=2b\implies \sin A=2\sin B\implies \sin A=\dfrac 23,$$ 于是 $$\begin{split} \sin\dfrac{A-B}2+\sin\dfrac C 2&= \sin\dfrac{A-B}2+\cos\dfrac{A+B}2\\ & =\sin\dfrac A 2\cos\dfrac B 2-\cos\dfrac A 2\sin\dfrac B 2+\cos\dfrac A 2\cos\dfrac B 2-\sin\dfrac A 2\sin\dfrac B 2\\ & =\left(\sin\dfrac A 2+\cos\dfrac A 2\right)\cdot\left(\cos\dfrac B 2-\sin\dfrac B 2\right)\\ & =\sqrt{1+\sin A}\cdot\sqrt{1-\sin B}\\ &=\dfrac{\sqrt{10}}3.\end{split}$$