每日一题[3669]知易行难

用 $1,2,3,4,5$ 五个数字组成 $1$ 个三位数和 $1$ 个两位数，每个数字各用 $1$ 次，它们的乘积的最大值是_____，最小值是_____．

答案    $22412$，$3240$．

解析    考虑五个不同的数字 $a,b,c,d,e$ 组成三位数 $\overline{abc}$ 和 $\overline{de}$，它们的乘积为

$$m=\overline{abc}\cdot \overline{de}=(100a+10b+c)(10d+e)=1000ad+100(ae+bd)+10(be+cd)+ce,$$ 考虑 $m$ 的最大值，此时 $\{a,d\}=\{4,5\}$，$\{b,e\}=\{2,3\}$，$c=1$，进而 $$m=20000+100(ae+bd)+10(6+d)+e,$$ 因此 $d=5$，由排序不等式可得 $a,e$ 与 $b,d$ 同序时最大，$b=3$，这样就得到了 $m$ 的最大值为 $431\cdot 52=22412$． 考虑 $m$ 的最小值，此时 $\{a,d\}=\{1,2\}$，$\{b,e\}=\{3,4\}$，$c=5$，进而 $$m=2000+100(ae+bd)+10(12+5d)+e,$$ 因此 $d=1$，由排序不等式可得 $a,e$ 与 $b,d$ 反序时最小，$b=3$，这样就得到了 $m$ 的最小值为 $235\cdot 14=3240$．