每日一题[3667]标准型

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#23

今年（$2023$ 年）是浙江大学建校 $126$ 周年，将一个边长为 $126$ 的正六边形划分成，边与正六边形的边平行且边长为 $1$ 的正三角形，我们假设这些正三角形的顶点所能构成的正六边形的数量为 $n$，则 $n$ 在十进制下的末位数字为_____．

答案    $1$．

解析    [[sol]]一般情形[[/sol]]设将一个边长为 $m$（$m \in \mathbb{N}^{\ast}$）的正六边形（称为大正六边形）打上边长为 $1$ 的正三角形网格（网格中的每条线均与正六边形的边方向一致）后，格点正六边形的数量为 $a_m$．满足所有边均与大正六边形方向一致的格点正六边形为标准正六边形，则边长为 $k$ 的标准正六边形的个数为 $$2 \cdot \frac{(m-k+1)(m-k+1+2 m-2 k+1)}{2}-(2 m-2 k+1)=3 k^2-(6 m+3) k+3 m^2+3 m+1,$$ 而对边长为 $k$ 的标准正六边形，其内接格点正六边形（包括其本身）的个数为 $k$．可以证明，任何非标准格点正六边形，必然内接于唯一的标准正六边形．

记所有格点正六边形构成的集合为 $S$，则边长为 $k$ 的标准正六边形的内接格点正六边形（包括标准正六边形 $^{[1]}$）构成的集合 $S_k$（$k=1,2,\cdots ,m$）是 $S$ 的分划，因此 $$\begin{split} a_m &=\sum_{k=1}^m\left(3 k^3-(6 m+3) k^2+\left(3 m^2+3 m+1\right) k\right) \\ & =3 \cdot \frac{m^2(m+1)^2}{4}-(6 m+3) \cdot \frac{m(m+1)(2 m+1)}{6}+\left(3 m^2+3 m+1\right) \cdot \frac{m(m+1)}{2} \\ & =\frac{1}{4} m^4+\frac{1}{2} m^3+\frac{1}{4} m^2 \\ & =\frac{m^2(m+1)^2}{4}.\end{split}$$

回到原题    当 $m=126$ 时，有 $$n =a_{126} =\frac{126^2 \cdot 127^2}{4} =63^2 \cdot 127^2 \equiv 1 \pmod{10}.$$