2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版)#21
已知 C,L∈R 且 L≠0,有 limn→∞nc∫π20xnsinx dx∫π20xncosx dx=L,则 L= _____.
答案 2π.
解析 设an=∫π20xnsinx dx,bn=∫π20xncosx dx,其中 n∈N,则an=∫π20xnsinx dx=∫π20xn d(−cosx)=−xncosx|π20−∫π20(−cosx)dxn=n∫π20xn−1cosx dx=nbn−1,且bn=∫π20xn dsinx=xnsinx|π20−∫π20sinx dxn=(π2)n−n∫π20xn−1sinx dx=(π2)n−nan−1,因此对任意 n⩾ 且 n \in \mathbb{N},有\begin{split} a_n & =n b_{n-1}=n \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-1}-n(n-1) a_{n-2}, \\ b_n & =\left(\frac{\pi}{2}\right)^n-n a_{n-1}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^n-n(n-1) b_{n-2} \end{split}从而 a_n =n \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-1}-n(n-1)(n-2) \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-3}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i \cdot n!}{(n-2 i-1)!} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-2 i-1} ,且 b_n =\left(\frac{\pi}{2}\right)^n-n(n-1)\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-2}+\cdots =\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i \cdot n!}{(n-2 i)!} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-2 i},因此 L=\lim _{n \to \infty} n^{C+1} \cdot \frac{n^{-1} a_n}{b_n}=\frac{2}{\pi} \cdot \lim _{n \to \infty} n^{C+1}=\begin{cases} 0,&C<-1\\ +\infty,&C>-1,\\ \dfrac{2}{\pi},&C=-1.\end{cases}