每日一题[3665]螺旋归纳

2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版)#21

已知 C,LRL0,有 limnncπ20xnsinx dxπ20xncosx dx=L,L= _____.

答案    2π

解析    设an=π20xnsinx dx,bn=π20xncosx dx,其中 nN,则an=π20xnsinx dx=π20xn d(cosx)=xncosx|π20π20(cosx)dxn=nπ20xn1cosx dx=nbn1,bn=π20xn dsinx=xnsinx|π20π20sinx dxn=(π2)nnπ20xn1sinx dx=(π2)nnan1,因此对任意 nn \in \mathbb{N},有\begin{split} a_n & =n b_{n-1}=n \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-1}-n(n-1) a_{n-2}, \\ b_n & =\left(\frac{\pi}{2}\right)^n-n a_{n-1}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^n-n(n-1) b_{n-2} \end{split}从而 a_n =n \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-1}-n(n-1)(n-2) \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-3}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i \cdot n!}{(n-2 i-1)!} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-2 i-1} , b_n =\left(\frac{\pi}{2}\right)^n-n(n-1)\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-2}+\cdots =\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i \cdot n!}{(n-2 i)!} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n-2 i},因此 L=\lim _{n \to \infty} n^{C+1} \cdot \frac{n^{-1} a_n}{b_n}=\frac{2}{\pi} \cdot \lim _{n \to \infty} n^{C+1}=\begin{cases} 0,&C<-1\\ +\infty,&C>-1,\\ \dfrac{2}{\pi},&C=-1.\end{cases}

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